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2021年北京市中国人民大学附中高考数学统一练习试卷（3月份）

发布：2024/4/20 14:35:0

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．集合M={x|ln（x+1）≥0}，N={x|2^x＜4}，则M∩N等于（　　）
A．（0，2） B．（-∞，2） C．[0，2） D．（-∞，2]
组卷：107引用：1难度：0.8
解析
2．若（2x-1）³=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³，则a₂=（　　）
A．6 B．-6 C．12 D．-12
组卷：510引用：1难度：0.7
解析
3．记S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若a₂=18，S₅=80，则数列{a_n}的通项公式a_n=（　　）
A．2n+22 B．22-2n C．20-n D．n（21-n）
组卷：483引用：5难度：0.7
解析
4．已知向量
a
=
（
1
，
2
）
，
b
=
（
1
，
0
）
，
c
=
（
3
，
4
）
．若
（
a
+
λ
b
）
∥
c
（
λ
∈
R
）
，则实数λ=（　　）
A．2 B．1 C．
1
2
D．
1
4
组卷：644引用：12难度：0.9
解析
5．欧拉恒等式：e^iπ+1=0被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e、圆周率π、虚数单位i、自然数1和0完美地结合在一起，它是在欧拉公式：e^iθ=cosθ+isinθ（θ∈R）中，令θ=π得到的．根据欧拉公式，e²ⁱ在复平面内对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
组卷：142引用：6难度：0.7
解析
6．已知双曲线C：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为其右支上一点，连接PF₁交y轴于点Q，若△PQF₂为等边三角形，则双曲线C的离心率为（　　）
A．
2
B．
3
C．2 D．
5
组卷：467引用：9难度：0.7
解析
7．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图的轮廓都是直角梯形，俯视图为正方形，则该几何体的体积是（　　）
A．
4
3
B．
8
3
C．4 D．8
组卷：96引用：1难度：0.8
解析

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三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

20．如图，设椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，点D在椭圆上，DF₁⊥F₁F₂，
|
F
1
F
2
|
|
D
F
1
|
=2
2
，△DF₁F₂的面积为
2
2
．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
组卷：1263引用：17难度：0.1
解析
21．已知项数为k（k∈N^*，k≥3）的数列{a_n}满足0≤a₁＜a₂＜…＜a_k，若对任意的i,j（1≤i≤j≤k），a_j+a_i与a_j-a_i至少有一个是数列{a_n}中的项，则称数列{a_n}具有性质P．
（Ⅰ）判断数列0，2，4，8是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）设项数为10的数列{a_n}具有性质P，a₁₀=36，求a₁+a₂+…+a₉+a₁₀；
（Ⅲ）若数列{a_n}具有性质P，且不是等差数列，求k.
组卷：119引用：1难度：0.2
解析