2021-2022学年上海市宝山区吴淞中学高二（下）期末数学试卷

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

• 1．设复数z满足（3-4i）z=5（i是虚数单位），则z=

   

  ．
  组卷：65引用：3难度：0.9

  解析

• 2．

  +

  ∞

  ∑

  i

  =

  1

  1

  2

  i

  =

  ．
  组卷：7引用：1难度：0.9

  解析

• 3．如果x₁，x₂，x₃，x₄的方差是

  1

  2

  ，则2x₁，2x₂，2x₃，2x₄的方差为

  ．
  组卷：10引用：1难度：0.9

  解析

• 4．用反证法证明命题“设a,b为实数，则方程x²+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是

  ．
  组卷：52引用：2难度：0.6

  解析

• 5．已知虚数1+2i是方程x²+ax+b=0（a,b∈R）的一个根，则a+b=

   

  ．
  组卷：157引用：5难度：0.9

  解析

• 6．底面半径为1，侧面积为6π的圆柱的体积为

  ．
  组卷：14引用：1难度：0.8

  解析

• 7．曲线y=x³在P（1，1）处的切线方程为

  ．
  组卷：71引用：21难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题共5题，满分76分）

• 20．已知离心率为

  2

  2

  的椭圆C的中心在原点O，对称轴为坐标轴，F₁，F₂为左右焦点，M为椭圆上的点，且

  |

  M

  F

  1

  |

  +

  |

  M

  F

  2

  |

  =

  2

  2

  ．直线l过椭圆外一点P（m,0）（m＜0），与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，满足y₂＞y₁＞0．
  （1）求椭圆C的标准方程；
  （2）若m=-2，求三角形AOB面积的取值范围；
  （3）对于任意点P，是否总存在唯一的直线l,使得

  F

  1

  A

  ∥

  F

  2

  B

  成立，若存在，求出直线l的斜率；否则说明理由．
  组卷：69引用：4难度：0.5

  解析

• 21．平面直角坐标系中A（1，0），B（0，1），设点P₁，P₂，…，P_n-1是线段AB的n等分点，其中n∈N，n≥2．
  （1）当n=3时，试用

  OA

  ，

  OB

  表示

  OP

  1

  ，

  O

  P

  2

  ；
  （2）当n=2022时，求

  |

  n

  -

  1

  ∑

  i

  =

  1

  OP

  i

  |

  的值；
  （3）当n=8时，求

  OP

  i

  •

  （

  O

  P

  i

  +

  O

  P

  j

  ）

  （

  1

  ≤

  i

  ,

  j

  ≤

  n

  -

  1

  ，

  i

  ,

  j

  ∈

  N

  ）

  的最小值．
  组卷：21引用：1难度：0.5

  解析