2023年广东省广州市天河区高考数学二模试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知集合A={x|e^x＜1，x∈R}，B={x|x²-x-2＜0，x∈R}，则A∪B=（　　）

  A．（-∞，1）

  B．（-∞，2）

  C．（-2，0）

  D．（-1，2）
  组卷：129引用：4难度：0.7

  解析

• 2．已知非零向量

  a

  =（x₁，y₁），

  b

  =（x₂，y₂），则“

  x

  1

  y

  1

  =

  x

  2

  y

  2

  ”是“

  a

  ∥

  b

  ”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：390引用：5难度：0.7

  解析

• 3．若（x-a）（1-3x）³的展开式的各项系数和为8，则a=（　　）

  A．1

  B．-1

  C．2

  D．-2
  组卷：707引用：3难度：0.8

  解析

• 4．已知随机变量X的分布列如下：
  

  X	1	2
  P	m	n

  若

  E

  （

  X

  ）

  =

  5

  3

  ，则m=（　　）

  A． 1 6

  B． 1 3

  C． 2 3

  D． 5 6
  组卷：427引用：3难度：0.7

  解析

• 5．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  sin

  （

  ωx

  -

  π

  3

  ）

  （

  ω

  ＞

  0

  ）

  的图象关于点

  （

  π

  6

  ，

  0

  ）

  对称，且f（x）在

  （

  0

  ，

  5

  π

  48

  ）

  上单调，则ω的取值集合为（　　）

  A．{2}

  B．{8}

  C．{2，8}

  D．{2，8，14}
  组卷：490引用：5难度：0.7

  解析

• 6．若函数f（x）=xcosx在区间

  [

  lna

  ,

  ln

  1

  a

  ]

  上的最小值为m,最大值为M，则下列结论正确的为（　　）

  A．m+M=0

  B．mM=0

  C．mM=1

  D．m+M=1
  组卷：243引用：1难度：0.8

  解析

• 7．已知双曲线

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y²=2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|=

  2

  |AB|，则双曲线的离心率为（　　）

  A． 2

  B． 3

  C．2

  D．3
  组卷：5453引用：17难度：0.6

  解析

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

• 21．已知直线l与抛物线C：y²=4x交于A，B两点，且与x轴交于点M（a,0）（a＞0），过点A，B分别作直线l₁：x=-a的垂线，垂足依次为A₁，B₁，动点N在l₁上．
  （1）当a=1，且N为线段A₁B₁的中点时，证明：AN⊥BN；
  （2）记直线NA，NB，NM的斜率分别为k₁，k₂，k₃，是否存在实数λ，使得k₁+k₂=λk₃？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
  组卷：156引用：1难度：0.4

  解析

• 22．已知定义在（0，+∞）上的函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  •

  e

  ax

  ．
  （1）若a∈R，讨论f（x）的单调性；
  （2）若a＞0，且当x∈（0，+∞）时，不等式

  （

  e

  ax

  x

  ）

  2

  a

  ≥

  lnx

  ax

  恒成立，求实数a的取值范围．
  组卷：242引用：1难度：0.4

  解析