浙教版九年级（上）中考题单元试卷：第2章 二次函数（20）

一、解答题（共30小题）

• 1．抛物线y=x²+bx+c经过A（0，2），B（3，2）两点，若两动点D、E同时从原点O分别沿着x轴、y轴正方向运动，点E的速度是每秒1个单位长度，点D的速度是每秒2个单位长度．
  （1）求抛物线与x轴的交点坐标；
  （2）若点C为抛物线与x轴的交点，是否存在点D，使A、B、C、D四点围成的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；
  （3）问几秒钟时，B、D、E在同一条直线上？
  组卷：1819引用：50难度：0.3

  解析

• 2．如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与直线AB相交于A（-3，0），B（0，3）两点．
  （1）求这条抛物线的解析式；
  （2）设C是抛物线对称轴上的一动点，求使∠CBA=90°的点C的坐标；
  （3）探究在抛物线上是否存在点P，使得△APB的面积等于3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：2965引用：54难度：0.1

  解析

• 3．如图，二次函数y=ax²+bx-3的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．该抛物线的顶点为M．
  （1）求该抛物线的解析式；
  （2）判断△BCM的形状，并说明理由；
  （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：4532引用：56难度：0.3

  解析

• 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为2a,2b,点A，D，G在y轴上，坐标原点O为AD的中点，抛物线y=mx²过C，F两点，连接FD并延长交抛物线于点M．
  （1）若a=1，求m和b的值；
  （2）求

  b

  a

  的值；
  （3）判断以FM为直径的圆与AB所在直线的位置关系，并说明理由．
  组卷：1824引用：52难度：0.3

  解析

• 5．如图，已知抛物线y=-

  1

  m

  （x+2）（x-m）（m＞0）与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．
  （1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值；
  （2）在（1）的条件下，解答下列问题：
  ①求出△ABC的面积；
  ②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标；
  （3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
  组卷：2727引用：52难度：0.3

  解析

• 6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx的对称轴为直线x=

  3

  4

  ，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）填空：
  ①用含m的式子表示点C，D的坐标：
  C（

  ，

  ），D（

  ，

  ）；
  ②当m=

  时，△ACD的周长最小；
  （3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．
  组卷：2162引用：54难度：0.3

  解析

• 7．如图，已知经过点D（2，-

  3

  ）的抛物线y=

  m

  3

  （x+1）（x-3）（m为常数，且m＞0）与x轴交于点A、B（点A位于B的左侧），与y轴交于点C．
  （1）填空：m的值为

   

  ，点A的坐标为

   

  ；
  （2）根据下列描述，用尺规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）：连接AD，在x轴上方作射线AE，使∠BAE=∠BAD，过点D作x轴的垂线交射线AE于点E；
  （3）动点M、N分别在射线AB、AE上，求ME+MN的最小值；
  （4）l是过点A平行于y轴的直线，P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为点G，请你探究：是否存在点P，使以P、G、A为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
  
  组卷：2177引用：50难度：0.3

  解析

• 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+

  3

  与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．
  （1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；
  （2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点B时停止运动．以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
  （3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．
  
  组卷：2612引用：51难度：0.3

  解析

• 9．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．
  （1）求抛物线的解析式和对称轴；
  （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
  （3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：24326引用：123难度：0.1

  解析

• 10．已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点坐标为（-6，0），B点坐标为（4，0），点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+8．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）如图①，将△BDE以DE为轴翻折，点B的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标；
  （3）如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线y=ax²+bx+8的对称轴上是否存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
  
  组卷：3780引用：54难度：0.1

  解析

一、解答题（共30小题）

• 29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+2经过点A（-1，0）和点B（4，0），且与y轴交于点C，点D的坐标为（2，0），点P（m,n）是该抛物线上的一个动点，连接CA，CD，PD，PB．
  
  （1）求该抛物线的解析式；
  （2）当△PDB的面积等于△CAD的面积时，求点P的坐标；
  （3）当m＞0，n＞0时，过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，连接EG，请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值．
  组卷：2392引用：52难度：0.1

  解析

• 30．如图1，一条抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且当x=-1和x=3时，y的值相等，直线y=

  15

  8

  x-

  21

  4

  与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M．
  （1）求这条抛物线的表达式．
  （2）动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为t秒．
  ①若使△BPQ为直角三角形，请求出所有符合条件的t值；
  ②求t为何值时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是多少？
  （3）如图2，当动点P运动到OB的中点时，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D，连接OD，OM，MD得△ODM，将△OPD沿x轴向左平移m个单位长度（0＜m＜2），将平移后的三角形与△ODM重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式．
  
  组卷：2617引用：50难度：0.1

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