2022-2023学年上海市杨浦区控江中学高二（下）期中数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.

• 1．向量

  a

  =

  （

  3

  ，

  0

  ，

  1

  ）

  的模

  |

  a

  |

  =

  ．
  组卷：21引用：1难度：0.8

  解析

• 2．函数y=lnx的导函数的定义域为

  ．
  组卷：51引用：1难度：0.8

  解析

• 3．根据二项式定理，（1+x）¹⁰的二项展开式共有

  项．
  组卷：85引用：2难度：0.8

  解析

• 4．设m,n∈R，若向量

  a

  =

  （

  2

  ，-

  1

  ，

  3

  ）

  与向量

  b

  =

  （

  m

  ,

  2

  ，

  n

  ）

  平行，则m+n=

  ．
  组卷：82引用：2难度：0.7

  解析

• 5．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  cos

  （

  x

  -

  π

  3

  ）

  ，则函数y=f（x）的导函数f'（x）=

  ．
  组卷：37引用：1难度：0.7

  解析

• 6．设a∈R，若1是函数f（x）=ax+lnx的一个驻点，则a=

  ．
  组卷：157引用：2难度：0.8

  解析

• 7．在

  （

  3

  x

  +

  2

  x

  ）

  8

  的二项展开式中，常数项为

  ．
  组卷：45引用：1难度：0.8

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

• 20．设实数m≠0．对任意给定的实数x,都有（3+mx）⁹⁹=a₀+a₁x+a₂x²+⋯+a₉₉x⁹⁹．
  （1）当m=1时，求a₉₇+a₉₈的值；
  （2）若m是整数，且满足6＜

  a

  5

  a

  4

  ＜7成立，求a₀+a₁+a₂+⋯+a₉₉的值；
  （3）当m∈（12，13）时，根据m的取值，讨论（3+mx）⁹⁹的二项展开式中系数最大的项是第几项．
  组卷：80引用：1难度：0.4

  解析

• 21．设常数λ∈（0，1）．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点Q满足

  D

  1

  Q

  =

  λ

  D

  1

  C

  1

  ，点M、N分别为棱AD、AB上的动点（均不与顶点重合），且满足

  |

  AN

  |

  =

  λ

  |

  DM

  |

  ，记

  |

  DM

  |

  =

  a

  ．以A为原点，分别以

  AB

  、

  AD

  与

  A

  A

  1

  的方向为x、y与z轴的正方向，建立如图空间直角坐标系．
  （1）用λ和a表示点M、N、Q的坐标；
  （2）设

  a

  =

  1

  2

  ，若∠MA₁N=∠AMN，求常数λ的值；
  （3）记Q到平面MA₁N的距离为h（a）．求证：若关于a的方程

  h

  （

  a

  ）

  =

  5

  2

  λ

  在（0，1）上恰有两个不同的解，则这两个解中至少有一个大于

  1

  2

  ．
  组卷：50引用：1难度：0.3

  解析