2022-2023学年陕西省西安中学高二（上）期中数学试卷（理科）

一、选择题。本大题共12小题，每小题3.5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知x,y∈R，命题“若x²+y²=0，则x,y全为0”的否命题是（　　）

  A．若x2+y2≠0，则x,y全不为0

  B．若x,y不全为0，则x2+y2≠0

  C．若x2+y2≠0，则x,y不全为0

  D．若x2+y2=0，则x,y全不为0
  组卷：161引用：3难度：0.7

  解析

• 2．双曲线

  y

  2

  25

  -

  x

  2

  9

  =1的渐近线方程为（　　）

  A．y=± 4 5 x

  B．y=± 5 4 x

  C．y=± 3 5 x

  D．y=± 5 3 x
  组卷：210引用：4难度：0.8

  解析

• 3．命题“∀x＞1，x²-1＞0”的否定形式是（　　）

  A．∀x＞1，x2-1≤0	B．∀x≤1，x2-1≤0
  C．∃x＞1，x2-1≤0	D．∃x≤1，x2-1≤0
  组卷：418引用：24难度：0.9

  解析

• 4．如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M为BC的中点，N为A₁C₁靠近A₁的三等分点，设

  AB

  =

  a

  ，

  AC

  =

  b

  ，

  A

  A

  1

  =

  c

  ，则用

  a

  ，

  b

  ，

  c

  表示

  NM

  为（　　）

  A． 1 2 a + 1 6 b - c

  B． - 1 2 a + 1 6 b + c

  C． 1 2 a - 1 6 b - c

  D． - 1 2 a - 1 6 b + c
  组卷：274引用：7难度：0.7

  解析

• 5．已知△ABC的周长为12，B（0，-2），C（0，2），则顶点A的轨迹方程为（　　）

  A． x 2 12 + y 2 16 = 1 （x≠0）	B． x 2 12 + y 2 16 = 1 （y≠0）
  C． x 2 16 + y 2 12 = 1 （x≠0）	D． x 2 16 + y 2 12 = 1 （y≠0）
  组卷：462引用：6难度：0.8

  解析

• 6．设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：189引用：18难度：0.9

  解析

• 7．已知命题p：∃x∈R，x²-x+1≥0．命题q：若a²＜b²，则a＜b,下列命题为真命题的是（　　）

  A．p∧q

  B．p∧（￢q）

  C．（￢p）∧q

  D．（￢p）∧（￢q）
  组卷：4070引用：51难度：0.7

  解析

三、解答题。共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 20．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分别是AC、AB上的点，满足DE∥BC且DE经过△ABC的重心，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，M是A₁D的中点，如图所示．
  （1）求证：A₁C⊥平面BCDE；
  （2）求CM与平面A₁BE所成角的大小；
  （3）在线段A₁B上是否存在点N（N不与端点A₁、B重合），使平面CMN与平面DEN垂直？若存在，求出A₁N与BN的比值；若不存在，请说明理由．
  组卷：483引用：11难度：0.3

  解析

• 21．已知椭圆M：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点

  N

  （

  2

  ，

  2

  2

  ）

  ．
  （1）求椭圆M的方程；
  （2）若直线y=kx+m（k≠0）与圆E：x²+y²=

  3

  4

  相切于点P，且交椭圆M于A，B两点，射线OP于椭圆M交于点Q，设△OAB的面积与△QAB的面积分别为S₁，S₂．
  ①求S₁的最大值；
  ②当S₁取得最大值时，求

  S

  1

  S

  2

  的值．
  组卷：168引用：6难度：0.4

  解析