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2019-2020学年福建省厦门一中高一（上）入学数学试卷

发布：2024/11/19 14:30:2

一、选择题：（共10小题，每题4分，计40分）

1．-3的绝对值是（　　）
A．3 B．
1
3
C．
-
1
3
D．-3
组卷：3380引用：659难度：0.9
解析
2．下列计算正确的是（　　）
A．3a+2b=5ab B．（a³）²=a⁶
C．a⁶÷a³=a² D．（a+b）²=a²+b²
组卷：704引用：11难度：0.8
解析
3．点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差
组卷：1998引用：41难度：0.8
解析
4．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（　　）
A．3sinα米 B．3cosα米 C．
3
sinα
米 D．
3
cosα
米
组卷：2851引用：43难度：0.8
解析
5．根据尺规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（　　）
A． B． C． D．
组卷：2389引用：26难度：0.8
解析
6．已知一次函数y₁=ax+b和y₂=bx+a（a≠b），函数y₁和y₂的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
组卷：4897引用：40难度：0.5
解析

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三、解答题：（共5小题，计44分）（须写出详细的解答过程）

18．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则OI²=R²-2Rr.

如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r,外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI=d,则有d²=R²-2Rr.
下面是该定理的证明过程（部分）：
延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN．
∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI（同弧所对的圆周角相等）．
∴△MDI∽△ANI．
∴
IM
IA
=
ID
IN
，
∴IA•ID=IM•IN，①
如图2，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，
如图2，动手连接BE，BD，BI，IF．
∵DE是⊙O的直径，所以∠DBE=90°．
∵⊙I与AB相切于点F，所以∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA．
∵∠BAD=∠E（同弧所对的圆周角相等），
∴△AIF∽△EDB，
∴
IA
DE
=
IF
BD
．
∴IA•BD=DE•IF②
（1）观察发现：IM=
，IN=
（用含R，d的代数式表示）；
（2）请观察式子①和式子②，并利用任务（1）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分．
组卷：90引用：1难度：0.4
解析
19．如图1，抛物线y=
1
4
（x-m）²的顶点A在x轴正半轴上，交y轴于点B，S_△OAB=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，P是第一象限内抛物线上对称轴右侧一点，过P的直线l与抛物线有且只有一个公共点，l交抛物线对称轴于C点，连PB交对称轴于D点，若∠BAO=∠PCD，求直线l的解析式；
（3）若点M、N是抛物线的两点，以线段MN为直径的圆经过点A，求证：MN始终经过一个定点，并求出该定点的坐标．
组卷：78引用：1难度：0.2
解析