2023-2024学年吉林省松原市前郭第五高级中学高二（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共4分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．直线l经过（1，9），（8，5）两点，则l的斜率为（　　）

  A． - 7 4

  B． - 4 7

  C． 14 9

  D． 9 14
  组卷：175引用：4难度：0.8

  解析

• 2．已知空间向量

  a

  =

  （

  2

  ，

  1

  ，

  1

  ）

  ，

  |

  b

  |

  =

  2

  ，

  cos

  〈

  a

  ，

  b

  〉

  =

  3

  4

  ，则

  a

  在

  b

  上的投影向量为（　　）

  A． 2 3 b

  B． 3 4 b

  C． 4 3 b

  D． 3 4 b
  组卷：81引用：3难度：0.5

  解析

• 3．已知直线l的方向向量为

  a

  =

  （

  1

  ，

  2

  ，

  m

  ）

  ，平面α的法向量为

  b

  =

  （

  2

  ，

  n

  ,

  2

  ）

  ，若l⊥α，则m+n=（　　）

  A．-1

  B．0

  C．2

  D．5
  组卷：79引用：1难度：0.8

  解析

• 4．数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点分别为A（0，2），B（-1，0），C（4，0），则△ABC的欧拉线方程为（　　）

  A．4x-3y-6=0

  B．3x+4y+3=0

  C．4x+3y-6=0

  D．3x+4y-3=0
  组卷：44引用：2难度：0.7

  解析

• 5．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，且AB=AD=AP=3，

  EC

  =

  2

  PE

  ，则

  AE

  •

  DE

  =（　　）

  A．-3

  B．3

  C．2

  D．5
  组卷：66引用：4难度：0.7

  解析

• 6．已知圆C与y轴相切于点A（0，2），且与直线4x-3y+9=0相切，则圆C的标准方程为（　　）

  A．（x-3）2+（y-2）2=9

  B．（x+3）2+（y-2）2=9

  C．（x-3）2+（y-2）2=9或 （ x + 1 3 ） 2 + （ y - 2 ） 2 = 1 9

  D． （ x + 3 ） 2 + （ y - 2 ） 2 = 9 或 （ x - 1 3 ） 2 + （ y - 2 ） 2 = 1 9
  组卷：12引用：1难度：0.6

  解析

• 7．如图，在正四棱锥P-ABCD中，

  PA

  =

  AB

  =

  2

  2

  ，E，F分别是PB，PD的中点，则异面直线AE，CF所成角的余弦值为（　　）

  A． 1 3

  B． 2 3

  C． 3 3

  D． 5 6
  组卷：64引用：3难度：0.5

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．在平面直角坐标系中，已知两个定点A（-2，0），B（4，0），动点P满足|PB|=2|PA|，设动点P的轨迹为曲线C．
  （1）求曲线C的方程；
  （2）过直线l：x+y-4=0上一动点作曲线C的两条切线，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点．
  组卷：63引用：4难度：0.5

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• 22．如图，某湿地公园的形状是长方形ABCD，AD=2AB=40，E为BC的中点，线段DE为公园内部的人行道．
  （1）记△DCE的外接圆为圆M，以AB为直径的圆为圆N，判断圆M与圆N的位置关系，并说明理由；
  （2）今欲在人行步道（线段DE）上设一观景台P，已知当观景台P在过A，B两点的圆与线段DE相切的切点处时，有最佳观赏和拍摄的效果，若该圆的半径小于50，问观景台P设在何处时，观赏和拍摄的效果最佳？
  组卷：19引用：2难度：0.5

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