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2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高一（下）期中数学试卷

发布：2024/4/20 14:35:0

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设
e
1
，
e
2
是两个不共线的向量，若向量
m
=
-
e
1
+
k
e
2
（
k
∈
R
）
与向量
n
=
-
2
e
1
+
e
2
共线，则（　　）
A．k=0 B．k=1 C．k=2 D．
k
=
1
2
组卷：159引用：1难度：0.7
解析
2．定义：若z²=a+bi（a,b∈R），则称复数z是复数a+bi的平方根．根据定义，复数9-40i的平方根为（　　）
A．3-4i,-3+4i B．4+3i,4-3i C．5-4i,-5+4i D．4-5i,-4+5i
组卷：92引用：3难度：0.7
解析
3．与向量
a
=
（
4
，
2
）
垂直的单位向量为（　　）
A．
（
2
5
5
，
5
5
）
B．
（
-
5
5
，
2
5
5
）
或
（
5
5
，
-
2
5
5
）
C．
（
-
5
5
，-
2
5
5
）
D．
（
1
10
，-
1
5
）
或
（
-
1
10
，
1
5
）
组卷：127引用：4难度：0.8
解析
4．一个球的外切正方体的全面积等于6cm²，则此球的体积为（　　）
A．
4
3
πc
m
3
B．
6
8
πc
m
3
C．
1
6
πc
m
3
D．
6
6
πc
m
3
组卷：138引用：9难度：0.9
解析
5．在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=6，BC=3，
∠
CAB
=
π
6
，则三棱锥P-ABC的外接球半径为（　　）
A．3 B．
2
3
C．
3
2
D．6
组卷：819引用：8难度：0.7
解析
6．下列命题正确的为（　　）
①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q，R，则P，Q，R三点共线；
②若三条直线a,b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；
③已知a,b,c为三条直线，若a,b异面，b,c异面，则a,c异面；
④已知a,b,c为三条直线，若a⊥c,b⊥c,则a∥b.
A．①③ B．②③ C．②④ D．①②
组卷：374引用：4难度：0.5
解析
7．如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC、AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（　　）
A．
4
91
91
B．
2
91
91
C．
91
91
D．
-
4
91
91
组卷：378引用：6难度：0.6
解析

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四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

21．如图所示，点O是△ABC所在平面上一点，并且满足
AO
=
m
AB
+
n
AC
（
m
,
n
∈
R
）
，已知AB=6，AC=2，∠BAC=60°．
（1）若O是△ABC的外心，求m、n的值；
（2）如果O是∠BAC的平分线上某点，则当
m
+
3
n
达到最小值时，求
|
AO
|
的值．
组卷：156引用：1难度：0.5
解析
22．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=2，AC∩BD=O，PO⊥底面ABCD，PO=2，点E在棱PD上，且CE⊥PD
（1）证明：面PBD⊥面ACE；
（2）求二面角P-AC-E的余弦值．
组卷：362引用：11难度：0.4
解析

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A．（ 2 5 5 ， 5 5 ）	B．（ - 5 5 ， 2 5 5 ）或（ 5 5 ， - 2 5 5 ）
C．（ - 5 5 ，- 2 5 5 ）	D．（ 1 10 ，- 1 5 ）或（ - 1 10 ， 1 5 ）

2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高一（下）期中数学试卷

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m=-e1+ke2（k∈R）与向量n=-2e1+e2共线，则（ ）

2．定义：若z2=a+bi（a,b∈R），则称复数z是复数a+bi的平方根．根据定义，复数9-40i的平方根为（ ）

3．与向量a=（4，2）垂直的单位向量为（ ）

4．一个球的外切正方体的全面积等于6cm2，则此球的体积为（ ）

5．在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=6，BC=3，∠CAB=π6，则三棱锥P-ABC的外接球半径为（ ）

7．如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC、AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（ ）

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

21．如图所示，点O是△ABC所在平面上一点，并且满足AO=mAB+nAC（m,n∈R），已知AB=6，AC=2，∠BAC=60°．（1）若O是△ABC的外心，求m、n的值；（2）如果O是∠BAC的平分线上某点，则当m+3n达到最小值时，求|AO|的值．

22．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=2，AC∩BD=O，PO⊥底面ABCD，PO=2，点E在棱PD上，且CE⊥PD（1）证明：面PBD⊥面ACE；（2）求二面角P-AC-E的余弦值．

1．设
e
1
，
e
2
是两个不共线的向量，若向量
m
=
-
e
1
+
k
e
2
（
k
∈
R
）
与向量
n
=
-
2
e
1
+
e
2
共线，则（　　）

2．定义：若z²=a+bi（a,b∈R），则称复数z是复数a+bi的平方根．根据定义，复数9-40i的平方根为（　　）

3．与向量
a
=
（
4
，
2
）
垂直的单位向量为（　　）

4．一个球的外切正方体的全面积等于6cm²，则此球的体积为（　　）

5．在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=6，BC=3，
∠
CAB
=
π
6
，则三棱锥P-ABC的外接球半径为（　　）

7．如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60°，BC、AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（　　）

21．如图所示，点O是△ABC所在平面上一点，并且满足
AO
=
m
AB
+
n
AC
（
m
,
n
∈
R
）
，已知AB=6，AC=2，∠BAC=60°．
（1）若O是△ABC的外心，求m、n的值；
（2）如果O是∠BAC的平分线上某点，则当
m
+
3
n
达到最小值时，求
|
AO
|
的值．

22．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=2，AC∩BD=O，PO⊥底面ABCD，PO=2，点E在棱PD上，且CE⊥PD
（1）证明：面PBD⊥面ACE；
（2）求二面角P-AC-E的余弦值．