2015年江苏省中学“时代杯”数学应用与创新邀请赛试卷

一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每题7分，共42分）

• 1．已知a²-3a+1=0，则a+

  1

  a

  =（　　）

  A．-3

  B．3

  C．-1

  D．1
  组卷：185引用：2难度：0.9

  解析

• 2．随机抛掷两颗质地均匀的正方体骰子（正方体骰子的六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），则向上一面两个数字的乘积是3的倍数的概率为（　　）

  A． 5 36

  B． 1 3

  C． 5 9

  D． 2 3
  组卷：148引用：3难度：0.9

  解析

• 3．在平面直角坐标系xOy中，若将直线y=ax+2先沿y轴方向向上平移3个单位，再沿x轴方向向右平移2个单位，最后得到的直线与原直线重合，则实数a的值是（　　）

  A． 3 2

  B．- 3 2

  C． 2 3

  D．- 2 3
  组卷：310引用：1难度：0.9

  解析

• 4．如图，在△ABC中，已知AD是BC边上的高，DC=1，BD=2，tanB=cos∠DAC，则AB的值为（　　）

  A． 5

  B． 7

  C．3

  D．7
  组卷：225引用：2难度：0.7

  解析

三、解答题（第11题、第12题每题18分，第13题、第14题每题22分，共80分）

• 13．在△ABC中，已知∠C=90°，AC=6，BC=8．
  （1）如图①，⊙O与△ABC的三边都相切，求⊙O的半径r₁；
  （2）如图②，⊙O₁与⊙O₂是△ABC内互相外切的两个等圆，且分别与∠A，∠B的两边都相切，求这两个等圆的半径r₂；
  （3）如图③，若△ABC内有n个依次外切且都与AB相切的等圆，⊙T₁、⊙T_n分别与AC，BC相切，求这些等圆的半径r_n．
  组卷：174引用：3难度：0.3

  解析

• 14．设a,b是两个不相等的正整数，P为质数，满足b²+a=p²，且

  a

  2

  +

  b

  b

  2

  +

  a

  是整数．
  （1）求证：a＞b；
  （2）求p的值；
  （3）求a,b的值．
  组卷：303引用：2难度：0.1

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