人教五四新版九年级（上）中考题单元试卷：第28章 二次函数（25）

一、解答题（共30小题）

• 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，BC在x轴上，点A在y轴的正半轴上，点A，D的坐标分别为A（0，2），D（2，2），AB=2

  2

  ，连接AC．
  （1）求出直线AC的函数解析式；
  （2）求过点A，C，D的抛物线的函数解析式；
  （3）在抛物线上有一点P（m,n）（n＜0），过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，连接PC，使以点C，P，M为顶点的三角形与Rt△AOC相似，求出点P的坐标．
  组卷：1519引用：52难度：0.1

  解析

• 2．如图，已知一次函数y₁=

  1

  2

  x+b的图象l与二次函数y₂=-x²+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2-

  5

  ，0）．
  （1）求二次函数的最大值；
  （2）设使y₂＞y₁成立的x取值的所有整数和为s,若s是关于x的方程

  （

  1

  +

  1

  a

  -

  1

  ）

  x

  +

  3

  x

  -

  3

  =0的根，求a的值；
  （3）若点F、G在图象C′上，长度为

  5

  的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．
  组卷：1835引用：53难度：0.1

  解析

• 3．如图，抛物线y=ax²+bx+2与x轴交于点A（1，0）和B（4，0）．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；
  （3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：2076引用：60难度：0.1

  解析

• 4．如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．
  （1）求该抛物线的函数解析式；
  （2）已知直线l的解析式为y=x+m,它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．
  ①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连接OP，试求△OPH的面积；
  ②当m=-3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
  
  组卷：4550引用：53难度：0.1

  解析

• 5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²-（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．
  （1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；
  （2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，-1），求∠ACB的大小；
  （3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．
  
  组卷：2991引用：52难度：0.5

  解析

• 6．如图，在矩形AOCD中，把点D沿AE对折，使点D落在OC上的F点，已知AO=8．AD=10．
  （1）求F点的坐标；
  （2）如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线过点O，F，且直线y=6x-36是该抛物线的切线，求抛物线的解析式；
  （3）直线y=k（x-3）-

  35

  4

  与（2）中的抛物线交于P、Q两点，点B的坐标为（3，-

  35

  4

  ），求证：

  1

  PB

  +

  1

  QB

  为定值．（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则M，N两点间的距离为|MN|=

  （

  x

  2

  -

  x

  1

  ）

  2

  +

  （

  y

  2

  -

  y

  1

  ）

  2

  ）
  组卷：1806引用：53难度：0.1

  解析

• 7．已知抛物线y=x²-（k+2）x+

  5

  k

  +

  2

  4

  和直线y=（k+1）x+（k+1）²．
  （1）求证：无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；
  （2）抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x₁、x₂、x₃，求x₁•x₂•x₃的最大值；
  （3）如果抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G（如图），且CA•GE=CG•AB，求抛物线的解析式．
  组卷：963引用：51难度：0.1

  解析

• 8．如图，抛物线y=ax²-8ax+12a（a＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D的坐标为（-6，0），且∠ACD=90°．
  （1）请直接写出A、B两点的坐标；
  （2）求抛物线的解析式；
  （3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；
  （4）平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动，到点A停止．设直线m与折线DCA的交点为G，与x轴的交点为H（t,0）．记△ACD在直线m左侧部分的面积为s,求s关于t的函数关系式及自变量t的取值范围．
  组卷：1672引用：52难度：0.1

  解析

• 9．如图，已知抛物线y=

  3

  8

  x²-

  3

  4

  x-3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．
  （1）直接写出A、D、C三点的坐标；
  （2）若点M在抛物线对称轴上，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐标；
  （3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：2713引用：54难度：0.1

  解析

• 10．综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A、C两点的坐标分别为（4，0），（-2，3），抛物线W经过O、A、C三点，D是抛物线W的顶点．
  （1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；
  （2）将抛物线W和▱OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线W′和▱O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设▱O′A′B′C′与▱OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；
  （3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x轴上的动点，点N是抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：2671引用：54难度：0.1

  解析

一、解答题（共30小题）

• 29．如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）．
  （1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式．
  （2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标．
  （3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．
  组卷：2789引用：55难度：0.1

  解析

• 30．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为（10，0）和（

  18

  5

  ，-

  24

  5

  ），以OB为直径的⊙A经过C点，直线l垂直x轴于B点．
  （1）求直线BC的解析式；
  （2）求抛物线解析式及顶点坐标；
  （3）点M是⊙A上一动点（不同于O，B），过点M作⊙A的切线，交y轴于点E，交直线l于点F，设线段ME长为m,MF长为n,请猜想m•n的值，并证明你的结论；
  （4）若点P从O出发，以每秒一个单位的速度向点B做直线运动，点Q同时从B出发，以相同速度向点C做直线运动，经过t（0＜t≤8）秒时恰好使△BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t值．
  组卷：1543引用：51难度：0.1

  解析