2021-2022学年上海市闵行中学高三（上）开学数学试卷

一、填空题

• 1．已知复数z满足z+2-i=-3i²+i（i为虚数单位），则z=

  ．
  组卷：22引用：1难度：0.9

  解析

• 2．已知点P在焦点为F₁，F₂的椭圆

  x

  2

  16

  +

  y

  2

  9

  =

  1

  上，则|PF₁|+|PF₂|=

  ．
  组卷：244引用：2难度：0.8

  解析

• 3．已知集合A={x|x²-x-2＜0}，B={y|y=log₂（x+2），x∈A}，则A∩B=

  ．
  组卷：47引用：1难度：0.7

  解析

• 4．已知实数x、y满足

  x ≥ 1

  x + y ≤ 3

  x - y ≤ 1

  ，则z=x-2y的最小值是

  ．
  组卷：17引用：1难度：0.6

  解析

• 5．若函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）是R上的偶函数，则φ=

   

  ．
  组卷：350引用：4难度：0.9

  解析

• 6．如图，长方形ABCD中，AB=3，AD=4，则

  AB

  •

  AC

  =

  ．
  组卷：46引用：1难度：0.7

  解析

• 7．设函数f（x）的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f^-1（x），f（4）=0，则f^-1（4）=

  ．
  组卷：290引用：15难度：0.7

  解析

三、解答题

• 20．如图，直线l：y=kx+b与抛物线x²=4y相交于不同的两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且|x₁-x₂|=h（h为定值），线段AB的中点为D，与直线l平行的抛物线x²=4y的切线的切点为C．
  （1）用k、b表示出点C、点D的坐标，并证明CD垂直于x轴；
  （2）求△ABC的面积（只与h有关，与k、b无关）；
  （3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC、BC，再作与AC、BC平行的切线，切点分别为E、F，小张马上写出了△ACE、△BCF的面积，由此小张求出了直线l与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．
  组卷：64引用：1难度：0.4

  解析

• 21．定义在R上的函数f（x）满足：若对任意的实数x≠y,有|f（x）-f（y）|＜|x-y|，则称f（x）为L函数．
  （1）判断f（x）=x²+1和

  g

  （

  x

  ）

  =

  1

  x

  2

  +

  1

  是否为L函数，并说明理由；
  （2）当x∈[a,b]时，L函数f（x）的图像是一条连续的曲线，值域为G，且G⊆[a,b]，求证：关于x的方程f（x）=x在区间[a,b]上有且只有一个实数根；
  （3）设f（x）为L函数，且f（3）=3，定义数列{a_n}（n∈N*）：a₁=1，

  a

  n

  +

  1

  =

  1

  2

  （

  f

  （

  a

  n

  ）

  +

  a

  n

  ）

  ，证明：对任意n∈N*，有a_n＜a_n+1＜3．
  组卷：272引用：1难度：0.1

  解析