2022-2023学年上海市杨浦区复旦大学附中高一（下）期末数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，其中1-6每小题4分，7-12每小题4分，满分54分）

• 1．已知复数z=1+i（i是虚数单位），则|1-iz|=

  ．
  组卷：90引用：3难度：0.7

  解析

• 2．向量

  a

  =

  （

  3

  ，

  5

  ）

  在向量

  b

  =

  （

  1

  ，

  1

  ）

  方向上的数量投影为

  ．
  组卷：167引用：5难度：0.7

  解析

• 3．如图，是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现，在这个伟大发现中，球的体积与圆柱的体积之比为

  ．
  组卷：53引用：1难度：0.6

  解析

• 4．若

  （

  cos

  π

  8

  +

  isin

  π

  8

  ）

  n

  是纯虚数（其中i是虚数单位），则正整数n的最小值为

  ．
  组卷：62引用：1难度：0.8

  解析

• 5．函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  2

  sinxcosx

  -

  2

  sin

  （

  π

  2

  +

  x

  ）

  cosx

  +

  1

  ，则f（x）的最大值为

  ．
  组卷：108引用：1难度：0.7

  解析

• 6．设方程x²-2x+m=0的两个根为α、β，且|α-β|=2，则实数m的值是

  ．
  组卷：95引用：7难度：0.7

  解析

• 7．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成．开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道最后全部流到下部容器，假设在下方也堆积成一个以下底面为底面的圆锥，如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，设此圆锥的高为h,细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的

  2

  3

  （细管忽略不计），则细沙全部在下部时堆积成的圆锥的高为

  ．
  组卷：58引用：1难度：0.6

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

• 20．已知直角梯形ABCD，AD∥BC，

  ∠

  ABC

  =∠

  ADE

  =

  π

  2

  ，AB=1，扇形圆心角∠BAE=x,

  x

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  ，如图，将△ADC，△ABC以及扇形BAE的面积分别记为p（x），q（x），s（x）．
  （1）写出p（x），q（x），s（x）的表达式，并指出其大小关系（不需证明）；
  （2）用

  tan

  x

  2

  表示梯形ABCD的面积t（x）；并证明：t（x）＞2•s（x）；
  （3）设

  f

  （

  x

  ）

  =

  p

  （

  x

  ）

  s

  （

  x

  ）

  ，

  0

  ＜

  α

  ＜

  α

  +

  φ

  ＜

  π

  2

  ，试用代数计算比较f（α）与f（α+φ）的大小．
  组卷：63引用：3难度：0.5

  解析

• 21．在菱形ABCD中，已知∠ABC=120°，AB=2．E是对角线AC上一点，沿BE把菱形折成二面角P-BE-C，将折成二面角后的A点记作P，设∠ABE=α，点P在平面BCD上的射影记为H．
  
  （1）当E是AC的中点时，如图1，求证BE⊥平面PEC；
  （2）当H落在菱形的边CD上时，如图2，求二面角P-BE-C的取值范围；
  （3）设折痕BE与菱形的边AD交于点F，求四棱锥P-BCDF体积的最大值（说明：可以用到必修一探究实践活动中得到的不等式

  a

  +

  b

  +

  c

  3

  ≥

  3

  abc

  （a,b,c∈R⁺））．
  组卷：47引用：1难度：0.6

  解析