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2023-2024学年北京十二中高二（上）期中数学试卷

发布：2024/10/18 20:0:1

一、选择题.本题共12小题，每题5分，共60分.在每题给的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．直线y=-2x+1的一个方向向量是（　　）
A．（1，-2） B．（2，-1） C．（1，2） D．（2，1）
组卷：54引用：2难度：0.8
解析
2．以（1，2）为圆心且过原点的圆的方程为（　　）
A．（x-1）²+（y-2）²=
5
B．（x+1）²+（y+2）²=
5
C．（x-1）²+（y-2）²=5 D．（x+1）²+（y+2）²=5
组卷：140引用：1难度：0.8
解析
3．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为上底面A₁C₁的中心，若
AE
=
A
A
1
+
x
AB
+
y
AD
，则x,y的值是（　　）
A．
x
=
1
2
，
y
=
1
2
B．x=1，
y
=
1
2
C．
x
=
1
2
，y=1 D．x=1，y=1
组卷：107引用：10难度：0.9
解析
4．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设AD=AA₁=1，AB=2，则
B
D
1
•
AD
等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
6
3
组卷：277引用：10难度：0.7
解析
5．“a=1”是“直线ax+（a-1）y-1=0与直线（a-1）x+ay+1=0垂直”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
组卷：180引用：7难度：0.8
解析
6．下面结论正确的个数是（　　）
①已知
a
，
b
，
c
是不共面的三个向量，则
c
，
a
+
c
，
a
-
c
能构成空间的一个基底；
②任意向量
a
，
b
，
c
（
a
≠
0
）
满足
a
•
b
=
a
•
c
，则
b
=
c
；
③已知向量
a
=
（
1
，
1
，
x
）
，
b
=
（
-
3
，
x
,
9
）
，若
a
与
b
共线，则x=-3．
A．3 B．2 C．1 D．0
组卷：111引用：2难度：0.7
解析
7．已知圆C的方程为（x-3）²+（y-4）²=1，过直线l：3x+4y-5=0上任意一点作圆C的切线，则切线长的最小值为（　　）
A．4 B．
15
C．
17
D．5
组卷：154引用：3难度：0.6
解析

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三、解答题.本题共5小题，共60分.

22．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC₁A₁是菱形，平面ACC₁A₁⊥平面ABC，E，F分别是棱A₁C₁，BC的中点，G是棱CC₁上靠近点C的三等分点．
（1）证明：EF∥平面ABB₁A₁；
（2）从①三棱锥C₁-ABC的体积为1；
②直线C₁C与底面ABC所成的角为60°；
③异面直线BB₁与AE所成的角为30°．
这三个条件中选择一个作为已知．
（ⅰ）判断点A是否在平面EFG内，并说明理由；
（ⅱ）求平面ACC₁与平面EFG夹角的余弦值．
组卷：166引用：1难度：0.3
解析
23．记集合Rⁿ={（x₁，x₂，⋯，x_n）|x_i∈R，i=1，2，⋯，n}（n≥2，n∈N），对于
A
（
a
1
，
a
2
，
⋯
，
a
n
）
∈
R
n
，
B
（
b
1
，
b
2
，
⋯
，
b
n
）
∈
R
n
，定义：
AB
=
（
b
1
-
a
1
，
b
2
-
a
2
，
⋯
，
b
n
-
a
n
）
为由点A，B确定的广义向量，
d
（
AB
）
=
|
b
1
-
a
1
|
+
|
b
2
-
a
2
|
+
⋯
+
|
b
n
-
a
n
|
为广义向量的绝对长度，
（1）已知A（1，2，-1，0）∈R⁴，B（0，2，2，1）∈R⁴，计算
d
（
AB
）
；
（2）设A，B，C∈Rⁿ，证明：
d
（
AC
）
+
d
（
CB
）
≥
d
（
AB
）
；
（3）对于给定A，B∈Rⁿ，若
P
（
p
1
，
p
2
，
⋯
，
p
n
）
∈
R
n
满足
d
（
AP
）
+
d
（
PB
）
=
d
（
AB
）
且p_i∈Z（i=1，2，⋯，n），则称P为Rⁿ中关于A，B的绝对共线整点，已知A（1，0，3），B（6，5，5）∈R³，
①R³中关于A，B的绝对共线整点的个数为_____；
②若从R³中关于A，B的绝对共线整点中任取m个，其中必存在4个点（x₁，y₁，z），（x₂，y₁，z），（x₃，y₂，z），（x₄，y₂，z）（x₁≠x₂≠x₃≠x₄，y₁≠y₂），满足x₁+x₂=x₃+x₄，则m的最小值为_____．
组卷：64引用：5难度：0.3
解析