2023年北京市门头沟区高考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）

• 1．已知集合A={-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}，B={x||x|＞2}，则A∩B=（　　）

  A．{-4，-3，3，4}	B．（-∞，-2）∪（2，+∞）
  C．{-2，-1，0，1，2}	D．[-2，2]
  组卷：106引用：1难度：0.8

  解析

• 2．复数z=（-1+i）（2+i），则|z|=（　　）

  A． 5

  B． 10

  C．2

  D．3
  组卷：171引用：1难度：0.7

  解析

• 3．双曲线

  y

  2

  a

  2

  -

  x

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率为2，则其渐近线方程为（　　）

  A． y =± 2 x

  B． y =± 3 x

  C． y =± 3 3 x

  D．y=±2x
  组卷：300引用：6难度：0.7

  解析

• 4．中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰．书里记载了这样一个问题“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布（　　）

  A． 5 31 尺

  B． 10 31 尺

  C． 15 16 尺

  D． 5 16 尺
  组卷：332引用：3难度：0.7

  解析

• 5．若点M是圆C：x²+y²-4x=0上的任一点，直线l：x+y+2=0与x轴、y轴分别相交于A、B两点，则∠MAB的最小值为（　　）

  A． π 12

  B． π 4

  C． π 3

  D． π 6
  组卷：487引用：7难度：0.6

  解析

• 6．在平面直角坐标系中，角α与β的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边构成一条直线，且

  sinα

  =

  3

  3

  ，则cos（α+β）=（　　）

  A．1

  B． 1 3

  C． - 1 3

  D．-1
  组卷：339引用：2难度：0.8

  解析

• 7．在声学中，音量被定义为：

  L

  p

  =

  20

  lg

  p

  p

  0

  ，其中L_p是音量（单位为dB），p₀是基准声压为2×10^-5p_a，p是实际声音压强．人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值．经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如图所示，其中240Hz对应的听觉下限阈值为20dB，1000Hz对应的听觉下限阈值为0dB，则下列结论正确的是（　　）
  

  A．音量同为20dB的声音，30～100Hz的低频比1000～10000Hz的高频更容易被人们听到

  B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小

  C．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa

  D．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍
  组卷：179引用：5难度：0.6

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三、解答题（本大题共6小题，满分85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明．）

• 20．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的离心率为

  1

  2

  ，长轴的左端点为A（-2，0）．
  （Ⅰ）求C的方程；
  （Ⅱ）过椭圆C的右焦点的任一直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，且AM，AN与直线x=4，分别相交于D，E两点，求证：以DE为直径的圆恒过x轴上定点，并求出定点．
  组卷：873引用：6难度：0.5

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• 21．已知集合M={±1，±2，±3，…，±n}（n≥3）．若对于集合M的任意k元子集A，A中必有4个元素的和为-1，则称这样的正整数k为“好数”，所有好数的最小值记作g（M）．
  （Ⅰ）当n=3，即集合M={-3，-2，-1，1，2，3}．
  （i）写出M的一个子集B，且B中存在4个元素的和为-1；
  （ii）写出M的一个5元子集C，使得C中任意4个元素的和大于-1；
  （Ⅱ）证明：g（M）＞n+2；
  （Ⅲ）证明：g（M）=n+3．
  组卷：225引用：1难度：0.1

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