2022-2023学年上海市虹口区复旦大学附属复兴中学高二（下）期中数学试卷

一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）

• 1．直线x-y-1=0的倾斜角大小为

  ．
  组卷：73引用：2难度：0.9

  解析

• 2．椭圆2x²+3y²=6的焦距为

  ．
  组卷：21引用：3难度：0.9

  解析

• 3．抛物线y²=2x的准线方程为
  组卷：410引用：11难度：0.8

  解析

• 4．双曲线

  x

  2

  4

  -

  y

  2

  36

  =1的渐近线方程为

  ．
  组卷：106引用：2难度：0.7

  解析

• 5．已知圆x²+y²=5和点A（2，-1），则过点A的圆的切线方程为

  ．
  组卷：86引用：1难度：0.7

  解析

• 6．已知直线l过点（-1，0）且与直线2x-y=0垂直，则圆x²+y²-4x+8y=0与直线l相交所得的弦长为

  ．
  组卷：810引用：6难度：0.7

  解析

• 7．若直线l₁：xcosθ+2y=0与直线l₂：3x+ysinθ+3=0垂直，则sin2θ=

  ．
  组卷：296引用：3难度：0.6

  解析

三、解答题（本大题共5小题，满分58分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并请在规定处答题，否则不得分.

• 20．设抛物线Γ：y²=2px（p＞0），D（x₀，y₀）满足

  y

  2

  0

  ＞2px₀，过点D作抛物线Γ的切线，切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂．y₂）．
  （1）求证：直线yy₁=p（x+x₁）与抛物线Γ相切：
  （2）若点A坐标为（4，4），点D在抛物线Γ的准线上，求点B的坐标：
  （3）设点D在直线x+p=0上运动，直线AB是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标：若不存在，请说明理由．
  组卷：119引用：2难度：0.4

  解析

• 21．已知椭圆Ω：

  x

  2

  16

  +

  y

  2

  12

  =

  1

  ．双曲线Γ的实轴顶点就是椭圆Ω的焦点，双曲线Γ的焦距等于椭圆Ω的长轴长．
  （1）求双曲线Γ的标准方程；
  （2）设直线l经过点E（3，0）与椭圆Ω交于A、B两点，求△OAB的面积的最大值；
  （3）设直线l：y=kx+m（其中k,m为整数）与椭圆Ω交于不同两点A、B，与双曲线Γ交于不同两点C，D，问是否存在直线l,使得向量

  AC

  +

  BD

  =

  0

  ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
  组卷：60引用：1难度：0.3

  解析