2023年江苏省南通市如皋中学高考数学段考试卷（4月份）

一、单选题

• 1．设集合A={（x,y）|y=x}，B={（x,y）|x²+y²=1}，则A∩B的子集的个数是（　　）

  A．2

  B．3

  C．4

  D．5
  组卷：139引用：2难度：0.7

  解析

• 2．已知复数1+i是关于x的方程x²+px+q=0（p,q∈R）的一个根，则|p+qi|=（　　）

  A．4

  B． 2 3

  C．8

  D． 2 2
  组卷：170引用：5难度：0.8

  解析

• 3．已知三个实数2，a,8成等比数列，则双曲线

  y

  2

  9

  -

  x

  2

  a

  2

  =

  1

  的渐近线方程为（　　）

  A．3x±4y=0

  B．4x±3y=0

  C． 3 x±2y=0

  D．9x±16y=0
  组卷：237引用：3难度：0.7

  解析

• 4．已知sinθ+cos（θ-

  π

  6

  ）=1，则sin（θ+

  7

  π

  6

  ）=（　　）

  A．- 3 3

  B． 2 3

  C．- 2 3

  D． 3 3
  组卷：426引用：5难度：0.7

  解析

• 5．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（　　）

  A．14π

  B．18π

  C．30π

  D．44π
  组卷：282引用：9难度：0.7

  解析

• 6．单位圆O：x²+y²=1上有两定点A（1，0），B（0，1）及两动点C，D，且

  OC

  •

  OD

  =

  1

  2

  ．则

  CA

  •

  CB

  +

  DA

  •

  DB

  的最大值是（　　）

  A．2+ 6

  B．2+2 3

  C． 6 -2

  D．2 3 -2
  组卷：210引用：3难度：0.5

  解析

• 7．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+1）+f（x）=f（1），f（x）+f（-x）=f（0），当

  x

  ∈

  （

  0

  ，

  1

  2

  ）

  时，f（x）=2^x，则

  f

  （

  log

  2

  1

  18

  ）

  ）=（　　）

  A． - 9 2

  B． - 9 8

  C． - 9 32

  D． - 1 18
  组卷：132引用：4难度：0.5

  解析

四、解答题

• 21．过点（4，2）的动直线l与双曲线E：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  交于M，N两点，当l与x轴平行时，|MN|=4

  2

  ，当l与y轴平行时，|MN|=4

  3

  ．
  （1）求双曲线E的标准方程；
  （2）点P是直线y=x+1上一定点，设直线PM，PN的斜率分别为k₁，k₂，若k₁k₂为定值，求点P的坐标．
  组卷：442引用：3难度：0.3

  解析

• 22．已知函数f（x）=asinx-ln（1+x），a∈R．
  （1）若对∀x∈（-1，0]时，f（x）≥0，求正实数a的最大值；
  （2）证明：

  n

  ∑

  i

  =

  2

  sin

  1

  i

  2

  ＜

  ln

  2

  ；
  （3）若函数g（x）=f（x）+e^x+1-asinx的最小值为m,证明：方程e^1+x-m-ln（1+x）=0有唯一的实数根．（其中e=2.71828⋯是自然对数的底数）
  组卷：144引用：3难度：0.3

  解析