2010-2011学年北京市东城区东直门中学高三（上）数学提高试卷3（理科）

一、选择题（共5小题，每小题4分，满分20分）

• 1．设全集U=I，M={x|y=ln（1-x）}，N={x|2^x（x-2）＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（　　）
  

  A．{x|x≥1}

  B．{x|1≤x＜2}

  C．{x|0＜x≤1}

  D．{x|x≤1}
  组卷：29引用：13难度：0.9

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• 2．已知函数f（x）的定义域为（-2，2），导函数为f′（x）=x²+2cosx且f（0）=0，则满足f（1+x）+f（x²-x）＞0的实数x的取值范围为（　　）

  A．（-1，1）

  B． （ - 1 ， 1 + 2 ）

  C． （ 1 - 2 ， 1 ）

  D． （ 1 - 2 ， 1 + 2 ）
  组卷：754引用：5难度：0.9

  解析

• 3．直线2x-y+m=0与圆x²+y²=5交于A、B，O为坐标原点，若OA⊥OB，则m的值为（　　）

  A．±5

  B． ± 5 2

  C． ± 5 2

  D． ± 5 2 2
  组卷：82引用：3难度：0.7

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• 4．在区间[0，1]上任取两个实数a、b,则函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  3

  x

  3

  +

  ax

  -

  b

  在区间（-1，1）上有且仅有一个零点的概率为（　　）

  A． 1 9

  B． 2 9

  C． 7 9

  D． 8 9
  组卷：17引用：5难度：0.9

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三、解答题（共4小题，满分0分）

• 12．已知双曲线x²-y²=1的左、右顶点分别为A₁、A₂，动直线l：y=kx+m与圆x²+y²=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
  （Ⅰ）求k的取值范围，并求x₂-x₁的最小值；
  （2）记直线P₁A₁的斜率为k₁，直线P₂A₂的斜率为k₂，那么k₁•k₂是定值吗？证明你的结论．
  组卷：91引用：12难度：0.1

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• 13．已知椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）和圆O：x²+y²=b²，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．
  （1）①若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；
  ②若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；
  （2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：

  a

  2

  |

  ON

  |

  2

  +

  b

  2

  |

  OM

  |

  2

  为定值．
  组卷：563引用：20难度：0.1

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