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2022年福建省厦门市高考数学第四次质检试卷

发布：2024/12/25 13:0:2

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知函数f（x）=
lo
g
2
x
,
x
≥
1
x
2
-
1
，
x
＜
1
，则f（f（-3））=（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
组卷：60引用：1难度：0.8
解析
2．已知集合M，N满足M∩N≠∅，则（　　）
A．∀x∈M，x∈N B．∀x∈M，x∉N C．∃x∈M，x∈N D．∃x∈M，x∉N
组卷：72引用：6难度：0.8
解析
3．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线被圆x²+y²=4所截得的弦长为
2
3
，则p=（　　）
A．1 B．
3
C．2 D．4
组卷：211引用：2难度：0.9
解析
4．已知平面α，β，直线m,n满足α⊥β，α∩β=l,m⊥α，n∥β，则（　　）
A．m∥β B．n⊥α C．n∥l D．m⊥l
组卷：41引用：2难度：0.7
解析
5．已知α，β∈（0，π），且
tanα
=
cos
2
β
-
1
sin
2
β
=
2
，则cos（α-β）=（　　）
A．
-
4
5
B．
-
3
5
C．
3
5
D．
4
5
组卷：230引用：4难度：0.8
解析
6．我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量Y～B（n,p），当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了
p
=
1
2
的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为（　　）
（附：若X～N（μ，σ²），则P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973）
A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014
组卷：351引用：10难度：0.8
解析
7．已知
e
1
，
e
2
为单位向量，满足|
e
1
-
e
2
|=|2
e
1
-
a
|=1，则|
a
-
e
2
|的最小值为（　　）
A．
3
-1 B．
3
C．
7
-
1
D．
7
组卷：544引用：1难度：0.5
解析

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四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21．某工厂采购了一批新的生产设备．经统计，设备正常状态下，生产的产品正品率为0.98．为监控设备生产过程，检验员每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品，并检测质量．规定：抽检的10件产品中，若至少出现2件次品，则认为设备生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测及修理．
（1）假设设备正常状态，记X表示一天内抽取的10件产品中的次品件数，求P（X≥2），并说明上述监控生产过程规定的合理性；
（2）该设备由甲、乙两个部件构成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为p,由乙部件故障造成的概率为1-p.若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理．已知甲部件的检测费用1000元，修理费用5000元，乙部件的检测费用2000元，修理费用4000元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，应先检测甲部件还是乙部件，请说明理由．
参考数据：0.98¹⁰≈0.82，0.98⁹≈0.83，0.98⁸≈0.85．
组卷：124引用：2难度：0.6
解析
22．已知函数f（x）=（2+sinx+cosx）e^x-a（x+sinx）（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x≤0时，f（x）≥4x+3，求a的取值范围．
组卷：104引用：1难度：0.5
解析