2022年湖南师大附中高考数学模拟试卷（一）（4月份）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

• 1．已知集合A={-1，2}，B={x|mx-1=0，m∈R}，若A∪B=A，则所有符合条件的实数m组成的集合是（　　）

  A． { - 1 2 ， 0 ， 1 }

  B．{-1，0，2}

  C．{-1，2}

  D． { - 1 ， 0 ， 1 2 }
  组卷：218引用：6难度：0.9

  解析

• 2．已知

  sin

  （

  π

  +

  θ

  2

  ）

  =

  4

  5

  ，

  sin

  （

  π

  2

  +

  θ

  2

  ）

  =

  3

  5

  ，则角θ所在的象限是（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  组卷：479引用：5难度：0.8

  解析

• 3．设随机变量ξ～N（μ，1），函数f（x）=x²+2x-ξ没有零点的概率是0.5，则P（0＜ξ≤1）=（　　）
  附：若ξ～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6826，P（μ-2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9544．

  A．0.1587

  B．0.1359

  C．0.2718

  D．0.3413
  组卷：768引用：11难度：0.8

  解析

• 4．已知F₁，F₂分别是双曲线

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF₂F₁=3sin∠PF₁F₂，则双曲线C的离心率的取值范围为（　　）

  A．（1，2）

  B．（1，3）

  C．（3，+∞）

  D．（2，3）
  组卷：301引用：3难度：0.6

  解析

• 5．在△ABC中，已知∠A=90°，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则

  PB

  •

  PC

  的最大值为（　　）

  A． 16 5

  B． 36 5

  C． 46 5

  D． 56 5
  组卷：256引用：2难度：0.6

  解析

• 6．已知圆C₁：x²+y²-kx+2y=0与圆C₂：x²+y²+ky-2=0的公共弦所在直线经过定点P，且点P在直线mx-ny-2=0上，则mn的取值范围是（　　）

  A．（-∞，1]

  B． （ 1 4 ， 1 ]

  C． [ 1 4 ， + ∞ ）

  D． （ - ∞ ， 1 4 ]
  组卷：196引用：1难度：0.7

  解析

• 7．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线A₁C与平面AB₁D₁的交点为M，O为线段B₁D₁的中点，则下列结论错误的是（　　）

  A．A，M，O三点共线	B．M，O，A1，A四点共面
  C．B，B1，O，M四点共面	D．A，O，C，M四点共面
  组卷：361引用：2难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

• 21．某种电子玩具启动后，屏幕上的LED显示灯会随机亮起红灯或绿灯．在玩具启动前，用户可对p₁（0＜p₁＜1）赋值，且在第1次亮灯时，亮起红灯的概率为p₁，亮起绿灯的概率为1-p₁．随后若第n（n∈N^*）次亮起的是红灯，则第n+1次亮起红灯的概率为

  1

  3

  ，亮起绿灯的概率为

  2

  3

  ；若第n次亮起的是绿灯，则第n+1次亮起红灯的概率为

  2

  3

  ，亮起绿灯的概率为

  1

  3

  ．
  （1）若输入

  p

  1

  =

  1

  2

  ，记该玩具启动后，前3次亮灯中亮红灯的次数为X，求X的分布列和数学期望；
  （2）在玩具启动后，若某次亮灯为红灯，且亮红灯的概率在区间（

  1010

  2021

  ，

  1

  2

  ）内，则玩具会自动唱一首歌曲，否则不唱歌．现输入

  p

  1

  =

  1

  3

  ，则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？
  组卷：340引用：3难度：0.6

  解析

• 22．已知函数f（x）=lnx,g（x）=x²-x+1．
  （1）求函数h（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
  （2）若直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，求直线l的条数．
  组卷：252引用：4难度：0.3

  解析