2022-2023学年江苏省南通一中高一（下）第一次月考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

• 1．函数f（x）=

  3

  x

  -lnx的零点所在的大致区间是（　　）

  A．（1，2）

  B．（2，3）

  C．（3，4）

  D．（e,+∞）
  组卷：870引用：21难度：0.9

  解析

• 2．已知a＞1，则下列命题中正确的是（　　）

  A．∃x0，∀x＞x0，有ax＞xa＞logax成立

  B．∃x0，∀x＞x0，有ax＞logax＞xa成立

  C．∃x0，∀x＞x0，有xa＞ax＞logax成立

  D．∃x0，∀x＞x0，有xa＞logax＞ax成立
  组卷：28引用：2难度：0.8

  解析

• 3．专家对某地区新型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t（单位：天）与病情爆发系数f（t）之间，满足函数模型：

  f

  （

  t

  ）

  =

  1

  1

  +

  e

  -

  0

  .

  22

  （

  3

  t

  -

  40

  ）

  ，当f（t）=0.1时，标志着疫情将要局部爆发，则此时t约为（　　）（参考数据：e^1.1≈3）

  A．10

  B．20

  C．30

  D．40
  组卷：61引用：4难度：0.9

  解析

• 4．平面向量

  a

  ，

  b

  共线的充要条件是（　　）

  A． a ， b 方向相同

  B． a ， b 两向量中至少有一个为零向量

  C．∃λ∈R， b = λ a

  D．存在不全为零的实数λ1，λ2， λ 1 a + λ 2 b = 0
  组卷：1142引用：34难度：0.9

  解析

• 5．已知cosα=

  1

  7

  ，cos（α-β）=

  13

  14

  ，且0＜β＜α＜

  π

  2

  ，则β=（　　）

  A． π 6

  B． π 4

  C． π 3

  D． 5 π 12
  组卷：95引用：7难度：0.9

  解析

• 6．我国古代人民早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若记

  AB

  =

  a

  ，

  AD

  =

  b

  ，且E为BF中点，则

  AF

  =（　　）

  A． 2 3 a + 1 3 b

  B． 1 3 a + 1 3 b

  C． 1 5 a + 2 5 b

  D． 2 5 a + 1 5 b
  组卷：70引用：2难度：0.6

  解析

• 7．已知直角梯形ABCD，A=90°，AB∥CD，AD=DC=

  1

  2

  AB=1，P是BC边上的一点，则

  AP

  •

  PC

  的取值范围为（　　）

  A．[-1，1]

  B．[0，2]

  C．[-2，2]

  D．[-2，0]
  组卷：277引用：3难度：0.6

  解析

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

• 21．已知函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  x 2 + 4 x + 3 ， x ≤ 0

  4 x + 1 - 1 ， x ＞ 0

  ．
  
  （1）画出f（x）的图象，并写出f（x）的单调递减区间；
  （2）当实数a取不同的值时，讨论关于x的方程f（x）=a的实根的个数；（不必求出方程的解）；
  （3）若关于x的方程[f（x）]²+（2m-1）f（x）-m+1=0的有4个不同的实数根，求m的取值范围．
  组卷：117引用：3难度：0.5

  解析

• 22．如图，A，B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且∠AOB=θ（θ为锐角）．点C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M．
  （1）求

  OA

  •

  AB

  （结果用θ表示）；
  （2）若θ=60°
  ①求

  CA

  •

  CB

  的取值范围；
  ②设

  OM

  =

  t

  OB

  （0＜t＜1），记

  S

  △

  COM

  S

  △

  BMA

  =f（t），求函数f（t）的值域．
  组卷：1730引用：21难度：0.1

  解析