2015年第三届“长江杯”全国数学邀请赛预赛九年级预赛试卷

一、选择题（共6小题，每小题5分，共30分.）

• 1．设a、b是方程x²+3x+1=0的两实根，则代数式

  1

  a

  2

  +

  1

  b

  2

  的值为（　　）

  A．5

  B．7

  C．9

  D．11
  组卷：203引用：1难度：0.9

  解析

• 2．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为P₀，P₁，P₂，P₃，则P₀，P₁，P₂，P₃中最大的是（　　）

  A．P0

  B．P1

  C．P2

  D．P3
  组卷：841引用：9难度：0.7

  解析

• 3．设正整数a、m、n满足

  a

  2

  -

  4

  2

  =

  m

  -

  n

  ，则这样的a、m、n的取值（　　）

  A．有一组

  B．有二组

  C．多于二组

  D．不存在
  组卷：835引用：8难度：0.9

  解析

• 4．若质数a,b满足a²-9b-4=0，则数据a,b,2，3的中位数是（　　）

  A．4

  B．7

  C．4或7

  D．4.5或6.5
  组卷：185引用：3难度：0.9

  解析

• 5．已知Y₁，Y₂，Y₃分别表示二次函数、反比例函数和一次函数的三个函数值，它们的交点分别是A（-1，-2）、B（2，1）和C（

  2

  3

  ，3），规定M={Y₁，Y₂，Y₃中最小的函数值}，则下列结论错误的是（　　）

  A．当x＜-1时，M=Y1

  B．当-1＜x＜0时，Y2＜Y3＜Y1

  C．当0≤x≤2时，M的最大值是1，无最小值

  D．当x≥2时，M最大值是1，无最小值
  组卷：621引用：3难度：0.9

  解析

三、解答题（共4小题，共60分.）

• 15．如图，五边形DEFGH是正五边形，⊙O是正五边形DEFGH的外接圆，过点D作⊙O的切线，与GH、FE的延长线交分别于点B和C，延长HG、EF相交于点A．
  （1）求证：△AGF是等腰三角形；
  （2）求证：点G，F分别是线段AB、AC的中点；
  （3）若正五边形DEFGH周长是10cm,求△ABC的周长．
  组卷：122引用：1难度：0.3

  解析

• 16．已知抛物线y=ax²+bx+c经过点（1，2）．
  （1）若a=1，抛物线顶点为A，它与x轴交于两点B，C，且△ABC为等边三角形，求b的值；
  （2）若abc=4，且a≥b≥c,求|a|+|b|+|c|的最小值．
  组卷：557引用：7难度：0.1

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