2017-2018学年上海交大附中高三（下）开学数学试卷

一、填空题：第1题至第6题，每题4分第7题至12题，每小题4分，共54分）.

• 1．已知a是实数，i是虚数单位，若z=a²-1+（a+1）i是纯虚数，则a=

  ．
  组卷：635引用：7难度：0.7

  解析

• 2．已知二元一次方程组

  a 1 x + b 1 y = c 1

  a 2 x + b 2 y = c 2

  的增广矩阵是

  1	- 1	1
  1	1	3

  ，则此方程组的解是

  ．
  组卷：121引用：9难度：0.9

  解析

• 3．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（10分制）的频数分布统计图如图所示，如果得分值的中位数为a,众数为b,平均数为c,则a、b、c中的最大者是

   

  ．
  组卷：267引用：2难度：0.7

  解析

• 4．命题：“若a,b,c成等比数列，则b²=ac”及其逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数是

  ．
  组卷：76引用：6难度：0.9

  解析

• 5．已知正数a,b满足4a+b=30，使得

  1

  a

  +

  4

  b

  取最小值的实数对（a,b）是

   

  ．
  组卷：536引用：4难度：0.5

  解析

• 6．不等式x|x-1|＞0的解集为

   

  ．
  组卷：208引用：3难度：0.9

  解析

• 7．已知f（x+1）=（x-1）²（x≤1），则f^-1（x+1）=

  ．
  组卷：128引用：3难度：0.9

  解析

三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．

• 20．已知O为坐标原点，圆M：（x+1）²+y²=16，定点F（1，0），点N是圆M上一动点，线段NF的垂直平分线交圆M的半径MN于点Q，点Q的轨迹为E．
  （1）求曲线E的方程；
  （2）已知点P是曲线E上但不在坐标轴上的任意一点，曲线E与y轴的交点分别为B₁、B₂，直线B₁P和B₂P分别与x轴相交于C、D两点，请问线段长之积|OC|•|OD|是否为定值？如果是请求出定值，如果不是请说明理由；
  （3）在（2）的条件下，若点C坐标为（-1，0），过点C的直线l与E相交于A、B两点，求△ABD面积的最大值．
  组卷：604引用：4难度：0.1

  解析

• 21．设f（x）是定义在[a,b]上的函数，若存在x∈（a,b），使得f（x）在[a,x]单调递增，在[x,b]上单调递减，则称f（x）为[a,b]上的单峰函数，x为峰点，包含峰点的区间称为含峰区间，其含峰区间的长度为：b-a.
  （1）判断下列函数中，哪些是“[0，1]上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因：
  f₁（x）=x-2x²，f₂（x）=1-|2x-1|，f₃（x）=|log₂（x+

  1

  2

  ）|，f₄（x）=sin4x；
  （2）若函数f（x）=ax³+x（a＜0）是[1，2]上的单峰函数，求实数a的取值范围；
  （3）若函数f（x）区间[0，1]上的单峰函数，证明：对于任意的x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂，若f（x₁）≥f（x₂），则 （0，x₂）为含峰区间；若f（x₁）≤f（x₂），则（x₁，1）为含峰区间；试问当x₁，x₂满足何种条件时，所确定的含峰区间的长度不大于0.6．
  组卷：296引用：1难度：0.1

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