2012-2013学年江苏省苏州市常熟实验中学八年级（上）寒假数学作业

一、解答题（共19小题，满分0分）

• 1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
  （1）当t=2时，AP=

   

  ，点Q到AC的距离是

   

  ；
  （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
  （3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值；若不能，请说明理由；
  （4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．
  组卷：713引用：42难度：0.1

  解析

• 2．如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB=4，BC=6，∠B=60度．
  （1）求点E到BC的距离；
  （2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x.
  ①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；
  ②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
  
  组卷：255引用：44难度：0.1

  解析

• 3．如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（-3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
  （1）求直线AC的解析式；
  （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；
  （3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
  
  组卷：1039引用：23难度：0.1

  解析

• 4．一次函数y=ax+b的图象分别与x轴、y轴交于点M，N，与反比例函数y=

  k

  x

  的图象相交于点A，B．过点A分别作AC⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为C，E；过点B分别作BF⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为F，D，AC与BD交于点K，连接CD．
  （1）若点A，B在反比例函数y=

  k

  x

  的图象的同一分支上，如图1，试证明：
  ①S_{四边形AEDK}=S_{四边形CFBK}；②AN=BM．
  （2）若点A，B分别在反比例函数y=

  k

  x

  的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论．
  
  组卷：1484引用：18难度：0.1

  解析

• 5．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
  （1）求证：EG=CG；
  （2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
  （3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．
  
  组卷：7520引用：103难度：0.1

  解析

• 6．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．
  （1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；
  （2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；
  （3）设△MBN的周长为p,在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．
  组卷：2219引用：46难度：0.1

  解析

一、解答题（共19小题，满分0分）

• 18．问题解决：
  如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN．当

  CE

  CD

  =

  1

  2

  时，求

  AM

  BN

  的值．
  类比归纳：
  在图（1）中，若

  CE

  CD

  =

  1

  3

  ，则

  AM

  BN

  的值等于

  ；若

  CE

  CD

  =

  1

  4

  ，则

  AM

  BN

  的值等于

  ；若

  CE

  CD

  =

  1

  n

  （n为整数），则

  AM

  BN

  的值等于

  ．（用含n的式子表示）
  联系拓广：
  如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN，设

  AB

  BC

  =

  1

  m

  （

  m

  ＞

  1

  ）

  ，

  CE

  CD

  =

  1

  n

  ，则

  AM

  BN

  的值等于

  ．（用含m,n的式子表示）
  
  组卷：1330引用：20难度：0.1

  解析

• 19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm,CD=4cm,BC=BD=10cm,点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s,交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
  （1）当t为何值时，PE∥AB；
  （2）设△PEQ的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
  （3）是否存在某一时刻t,使S_△PEQ=

  2

  25

  S_△BCD？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
  （4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．
  组卷：3286引用：42难度：0.1

  解析