2023-2024学年山东省潍坊市寿光市、昌邑市九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得4分，共32分，多选、不选、错选均记0分）

• 1．若锐角A满足cosA=

  3

  2

  ，则∠A的度数是（　　）

  A．30°

  B．45°

  C．60°

  D．75°
  组卷：1496引用：20难度：0.8

  解析

• 2．方程（x+1）²=4的解为（　　）

  A．x1=1，x2=-3

  B．x1=-1，x2=3

  C．x1=2，x2=-2

  D．x1=1，x2=-1
  组卷：2829引用：12难度：0.7

  解析

• 3．用配方法解方程x²+4x+1=0时，配方结果正确的是（　　）

  A．（x-2）2=5

  B．（x-2）2=3

  C．（x+2）2=5

  D．（x+2）2=3
  组卷：2651引用：86难度：0.7

  解析

• 4．如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC=25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（　　）

  A．25°

  B．35°

  C．40°

  D．50°
  组卷：2044引用：11难度：0.7

  解析

• 5．已知点A（a,b）在第四象限，则关于x的一元二次方程ax²+2x+b=0的根的情况是（　　）

  A．没有实数根	B．有两个相等的实数根
  C．有两个不相等的实数根	D．无法确定
  组卷：85引用：1难度：0.5

  解析

• 6．如图，已知

  ˆ

  AB

  所在圆的半径为5，弦AB的长8，点P是

  ˆ

  AB

  的中点，

  ˆ

  AB

  绕点A逆时针旋转90°后得到

  ˆ

  AB

  ′

  ，两位同学提出了相关结论：
  小明：点P到AB的距离为2；
  小刚：点P走过的路线长为

  5

  π

  ．
  下列论正确的是（　　）

  A．小明错，小刚错	B．小明对，小刚错
  C．小明错，小刚对	D．小明对，小刚对
  组卷：43引用：1难度：0.5

  解析

• 7．现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（　　）

  A． 2 6 千米

  B． （ 2 2 + 3 ） 千米

  C． 3 2 千米

  D．5千米
  组卷：2869引用：12难度：0.5

  解析

四、解答题（本大题共7小题，共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

• 22．请阅读下面材料，并根据提供的解题思路求解问题：
  如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求cos∠CPN的值．
  【解题思路】
  要求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们可以利用网格画平行线等方法解获此类问题，比如连接格点M，N，可发现MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中，进而求出答案．
  【解决问题】
  （1）根据上述方法归纳，请求图1中cos∠CPN的值；
  （2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求sin∠CPN的值．
  组卷：442引用：1难度：0.6

  解析

• 23．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，AB⊥CD，点E是劣弧BD上一动点（点E不与B，D重合）．连接AE，CE，分别交OD，OB于点F，G，连接AC．设⊙O的半径为r,∠OAF=α．
  （1）∠OCG=

  （用含a的代数式表示）；
  （2）当α=30°时，求

  AC

  AE

  ；
  （3）判断AG•CF是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
  组卷：125引用：1难度：0.5

  解析