2013年4月全国100所名校单元测试示范卷数学（六）基本不等式与简单线性规划

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

• 1．若a＞0，b＞0，且a+b=4，则ab的最大值为（　　）

  A．8

  B．4

  C．2

  D．1
  组卷：163引用：2难度：0.9

  解析

• 2．（x+2y-2）（x-y+1）≥0表示的平面区域是（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：64引用：6难度：0.9

  解析

• 3．下列函数中，最小值为2的是（　　）

  A．f（x）=sinx+ 1 sinx （x≠kx,k∈Z）

  B．f（x）=lnx+ 1 lnx

  C．f（x）= x 2 - 4 x + 6 x - 2 （x＞2）

  D．f（x）=2013x+ 1 201 3 x
  组卷：70引用：1难度：0.9

  解析

• 4．已知x、y满足约束条件

  x - 2 ≤ 0

  y - 1 ≤ 0

  x + 2 y - 2 ≥ 0

  ，则z=x-y的取值范围为（　　）

  A．（-1，2）

  B．[-1，2）

  C．[-1，2]

  D．[-1，3]
  组卷：32引用：5难度：0.9

  解析

• 5．已知log₂（x+y）=log₂x+log₂y,则x+y的最小值是（　　）

  A．1

  B．4

  C．8

  D．16
  组卷：140引用：2难度：0.7

  解析

• 6．若3^a+3^b＜6，则点（a,b）必在（　　）

  A．直线x+y-2=0的左下方	B．直线x+y-2=0的右上方
  C．直线x+2y-2=0的右上方	D．直线x+2y-2=0的左下方
  组卷：167引用：1难度：0.7

  解析

• 7．在平面直角坐标系中，若x,y满足约束条件

  x ≥ 0

  y ≤ x

  2 x + y + k ≤ 0

  （k为常数），则能使z=x+y的最大值为10的k的值为（　　）

  A．10

  B．-10

  C．15

  D．-15
  组卷：41引用：1难度：0.7

  解析

三、解答题：本大题共6小题，满分75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

• 20．已知x∈（0，a]，求函数f（x）=x²+

  1

  x

  2

  +x+

  1

  x

  的最小值．
  组卷：72引用：1难度：0.5

  解析

• 21．2011年六月康菲公司由于机器故障，引起严重的石油泄漏，造成了海洋的巨大污染，某沿海渔场也受到污染．为降低污染，渔场迅速切断与海水联系，并决定在渔场中投放一种可与石油发生化学反应的药剂．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个单位的药剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似于y=af（x），其中f（x）=

  16 8 - x - 1 （ 0 ≤ x ≤ 4 ）

  5 - 1 2 x （ 4 ＜ x ≤ 10 ）

  ，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据实验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用．称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳净化．
  （Ⅰ）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？
  （Ⅱ）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试问a的最小值（精确到0.1，参考数据：

  2

  取1.4）．
  组卷：162引用：3难度：0.3

  解析