2023年上海市嘉定区高考数学二模试卷

一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.

• 1．已知复数z=3+4i（i为虚数单位），则|z|=

  ．
  组卷：174引用：9难度：0.7

  解析

• 2．双曲线

  x

  2

  9

  -

  y

  2

  7

  =

  1

  的离心率为

  ．
  组卷：123引用：3难度：0.7

  解析

• 3．已知

  A

  =

  {

  x

  |

  x

  -

  1

  x

  ≤

  0

  }

  ，B={x|x≥1}，则A∩B=

  ．
  组卷：109引用：2难度：0.7

  解析

• 4．函数y=sin2x的最小正周期是

  ．
  组卷：458引用：20难度：0.9

  解析

• 5．△ABC是边长为1的等边三角形，点M为边AB的中点，则

  AC

  •

  AM

  =

  ．
  组卷：124引用：3难度：0.7

  解析

• 6．已知函数y=2x+

  1

  8

  x

  ，定义域为（0，+∞），则该函数的最小值为

  ．
  组卷：122引用：1难度：0.7

  解析

• 7．已知n∈N，若

  C

  n

  6

  =

  A

  2

  5

  ，则n=

  ．
  组卷：107引用：2难度：0.7

  解析

三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

• 20．若直线和抛物线的对称轴不平行且与抛物线只有一个公共点，则称该直线是抛物线在该点处的切线，该公共点为切点．已知抛物线C₁：y²=4ax和C₂：x²=4y,其中a＞0．C₁与C₂在第一象限内的交点为P．C₁和C₂在点P处的切线分别为l₁和l₂，定义l₁和l₂的夹角为曲线C₁、C₂的夹角．
  （1）求点P的坐标；
  （2）若C₁、C₂的夹角为arctan

  3

  4

  ，求a的值；
  （3）若直线l₃既是C₁也是C₂的切线，切点分别为Q、R，当△PQR为直角三角形时，求出相应的a的值．
  组卷：154引用：1难度：0.2

  解析

• 21．已知f（x）=x+2sinx,等差数列{a_n}的前n项和为S_n，记

  T

  n

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  f

  （

  a

  i

  ）

  ．
  （1）求证：函数y=f（x）的图像关于点（π，π）中心对称；
  （2）若a₁、a₂、a₃是某三角形的三个内角，求T₃的取值范围；
  （3）若S₁₀₀=100π，求证：T₁₀₀=100π．反之是否成立？并请说明理由．
  组卷：237引用：3难度：0.1

  解析