2008-2009学年江西省赣州市南康三中九年级（上）数学竞赛试卷

一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）

• 1．已知m是方程x²-x-2=0的一个根，则代数式m²-m的值是

  ．
  组卷：486引用：89难度：0.9

  解析

• 2．一名同学在掷骰子，连续抛了9次都没有点数为6的面朝上，当他掷第10次时，点数为6的面朝上是

   

  事件．
  组卷：61引用：1难度：0.9

  解析

• 3．已知a-b=2

  3

  -1，ab=

  3

  ，则（a+1）（b-1）的值是

  ．
  组卷：219引用：10难度：0.9

  解析

• 4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C=30°，AB=2cm,则⊙O的半径为

  cm.
  组卷：1052引用：28难度：0.5

  解析

• 5．已知x=-1是关于x的方程2x²+ax-a²=0的一个根，则a=

  ．
  组卷：1632引用：167难度：0.9

  解析

• 6．如图，如果从半径为3cm的圆形纸片剪去

  1

  3

  圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的体积是

   

  cm³．
  组卷：105引用：28难度：0.7

  解析

• 7．如图，将一块斜边长为12cm,∠B=60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使点B′刚好落在斜边AB上，那么此三角板向右平移的距离是

  cm.
  组卷：908引用：52难度：0.5

  解析

• 8．如图，A是第一象限里的点，点B是点A关于原点的对称点，点C是点A关于x轴的对称点，则以点A，B，C为顶点的三角形是

   

  三角形．
  组卷：60引用：1难度：0.5

  解析

三、解答题（共9小题，满分72分）

• 24．已知：如图1，∠ACG=90°，AC=2，点B为CG边上的一个动点，连接AB，将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB，过点D作DF⊥CG于点F．
  （1）当BC=

  2

  3

  3

  时，判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系，并加以证明；
  （2）如图2，点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两点，连接AH，当∠CAB=∠BAD=∠DAH时，求BC的长．
  
  组卷：585引用：6难度：0.1

  解析

• 25．在图1-5中，正方形ABCD的边长为a,等腰直角三角形FAE的斜边AE=2b,且边AD和AE在同一直线上．
  操作示例：
  当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG=b,连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．
  思考发现：
  小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连接CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．
  实践探究：
  （1）正方形FGCH的面积是

  ；（用含a,b的式子表示）
  （2）类比图1的剪拼方法，请你就图2-图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．
  
  联想拓展：
  小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移；当b＞a时，如图5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．
  
  组卷：415引用：13难度：0.1

  解析