2023-2024学年黑龙江省哈尔滨师大附中高二（上）期中数学试卷

一、单选题：本题共8道小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

• 1．双曲线

  x

  2

  2

  -

  y

  2

  =

  1

  的焦点坐标为（　　）

  A．（±1，0）

  B．（± 2 ，0）

  C．（± 3 ，0）

  D．（± 5 ，0）
  组卷：1012引用：4难度：0.7

  解析

• 2．过点M（-2，a），N（a,4）的直线的斜率为-

  1

  2

  ，则|MN|=（　　）

  A．10

  B．180

  C．6 3

  D．6 5
  组卷：1288引用：21难度：0.7

  解析

• 3．已知倾斜角为60°直线l经过抛物线y²=6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．弦|AB|的长为（　　）

  A．6

  B．8

  C．10

  D． 3 3
  组卷：108引用：4难度：0.6

  解析

• 4．已知动点P（x,y）满足

  5

  （

  x

  -

  2

  ）

  2

  +

  （

  y

  -

  1

  ）

  2

  =

  |

  3

  x

  +

  4

  y

  -

  7

  |

  ，则动点P的轨迹是（　　）

  A．直线

  B．椭圆

  C．双曲线

  D．抛物线
  组卷：27引用：2难度：0.7

  解析

• 5．已知椭圆

  C

  ：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  =

  1

  ，直线l：x-y-4=0，则椭圆C上的点到直线l的距离的最大值是（　　）

  A． 4 2 + 10 2

  B． 4 2 - 10 2

  C． 10 + 2 2

  D． 10 - 2 2
  组卷：64引用：1难度：0.7

  解析

• 6．已知圆O：x²+y²=1与圆M：（x-2）²+（y-1）²=2相交于A，B两点，则|AB|=（　　）

  A． 2 5 5

  B． 5 5

  C． 5 2

  D． 5
  组卷：58引用：5难度：0.7

  解析

• 7．已知中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4的椭圆被直线l：y=x+3截得的弦的中点的横坐标为-2，则此椭圆的短轴长为（　　）

  A．2

  B．4

  C．6

  D．8
  组卷：55引用：1难度：0.7

  解析

四、解答题：本题共6道小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．已知双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率为

  5

  ．
  （1）求双曲线C的渐近线方程；
  （2）动直线l分别交双曲线C的渐近线于A，B两点（A，B分别在第一、四象限），且△OAB（O为坐标原点）的面积恒为8，是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线C，若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由．
  组卷：101引用：2难度：0.5

  解析

• 22．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左焦点F₁（-

  3

  ，0），点

  Q

  （

  1

  ，

  3

  2

  ）

  在椭圆C上．
  （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
  （Ⅱ）经过圆O：x²+y²=5上一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆O相交于异于点P的M，N两点．
  （ⅰ）求证：

  OM

  +

  ON

  =

  0

  ；
  （ⅱ）求△OAB的面积的取值范围．
  组卷：382引用：4难度：0.3

  解析