2022年山东省青岛市即墨实验学校自主招生数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

• 1．

  6

  cos

  45

  °

  +

  （

  1

  3

  ）

  -

  1

  +

  （

  3

  -

  1

  .

  73

  ）

  0

  +

  |

  5

  -

  3

  2

  |

  的结果为（　　）

  A． 15 - 3 2

  B．9

  C． 9 + 6 2

  D．8
  组卷：48引用：1难度：0.5

  解析

• 2．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE=1，则BC的长为（　　）

  A．2+ 2

  B． 2 + 3

  C．2+ 3

  D．3
  组卷：4934引用：41难度：0.7

  解析

• 3．如图，在平面直角坐标系中，函数y=

  4

  x

  （x＞0）与y=x-1的图象交于点P（a,b），则代数式

  1

  a

  -

  1

  b

  的值为（　　）

  A．- 1 2

  B． 1 2

  C．- 1 4

  D． 1 4
  组卷：5610引用：33难度：0.5

  解析

• 4．关于x的不等式2x+a≤1只有2个正整数解，则a的取值范围为（　　）

  A．-5＜a＜-3

  B．-5≤a＜-3

  C．-5＜a≤-3

  D．-5≤a≤-3
  组卷：4573引用：26难度：0.6

  解析

• 5．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x,△ADP的面积为y,那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）

  A．	B．
  C．	D．
  组卷：1055引用：43难度：0.5

  解析

• 6．如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转60°，使点B落在点B′的位置，连接BB′，过点D作DE⊥BB′，交BB′的延长线于点E，则B′E的长为（　　）

  A． 3 - 1

  B． 2 3 - 2

  C． 2 3 3

  D． 4 3 3
  组卷：2125引用：8难度：0.7

  解析

• 7．已知二次函数y=ax²+bx+c的y与x的部分对应值如表：下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x=2；③当0＜x＜4时，y＞0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A（x₁，2）B（x₂，3）是抛物线上两点，则x₁＜x₂．其中正确的个数是（　　）

  x	1	0	2	3	4
  y	.5	0	-4	-3	0

  A．2

  B．3

  C．4

  D．5
  组卷：120引用：2难度：0.5

  解析

ж三，解答题（本大题共8小题，共78分）

• 21．知识背景：当a＞0且x＞0时，因为（

  x

  -

  a

  x

  ）²≥0，所以

  x

  -

  2

  a

  +

  a

  x

  ≥

  0

  ，从而

  x

  +

  a

  x

  ≥

  2

  a

  （当

  x

  =

  a

  时取等号）．设函数

  y

  =

  x

  +

  a

  x

  （a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x=

  a

  时，该函数有最小值为

  2

  a

  ．
  应用举例：已知函数y₁=x（x＞0）与函数y₂=

  4

  x

  （x＞0），则当

  x

  =

  4

  =

  2

  时，

  y

  1

  +

  y

  2

  =

  x

  +

  4

  x

  ，有最小值为

  2

  4

  =

  4

  ．
  解决问题：（1）当x＞2时，

  x

  +

  5

  x

  -

  2

  有最

  值为

  ；
  （2）已知函数y₁=x+3（x＞-3）与函数

  y

  2

  =

  （

  x

  +

  3

  ）

  2

  +

  9

  （

  x

  ＞

  -

  3

  ）

  当x取何值时，

  y

  2

  y

  1

  有最小值，最小值是多少？
  （3）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元：二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001．若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？
  组卷：167引用：1难度：0.3

  解析

• 22．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（-1，0），且OA=OC=4OB，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．
  （1）求A，C两点的坐标；
  （2）求抛物线的解析式；
  （3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．
  组卷：5462引用：29难度：0.4

  解析