2023-2024学年江苏省南通市如东县高二（上）期中数学试卷

一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．直线

  3

  x

  -

  y

  -

  4

  =

  0

  的纵截距是（　　）

  A．4

  B．-4

  C． 4 3 3

  D． - 4 3 3
  组卷：21引用：1难度：0.9

  解析

• 2．点P（x,y）在椭圆

  x

  2

  9

  +

  y

  2

  25

  =

  1

  上，则

  x

  2

  +

  （

  y

  -

  4

  ）

  2

  +

  x

  2

  +

  （

  y

  +

  4

  ）

  2

  等于（　　）

  A．6

  B．8

  C．10

  D．12
  组卷：99引用：1难度：0.8

  解析

• 3．过点（3，4）且与直线2x+3y+1=0垂直的直线方程为（　　）

  A．3x-2y+1=0

  B．3x-2y-1=0

  C．3x+2y+1=0

  D．2x+3y-18=0
  组卷：33引用：1难度：0.8

  解析

• 4．在平面直角坐标系中，军营所在区域为x²+y²≤1，将军从点A（2，0）出发去河岸边饮马，然后再去军营，河岸线所在直线方程为x+y=4，假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营，则将军饮马的最短总路程是（　　）

  A． 10 - 1

  B． 2 5 - 1

  C． 2 5

  D． 10
  组卷：27引用：4难度：0.7

  解析

• 5．直线ax+y-a+1=0（a∈R）与圆x²+y²=4的位置关系为（　　）

  A．相交	B．相切
  C．相离	D．三种关系均存在
  组卷：42引用：1难度：0.7

  解析

• 6．双曲线

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  一条渐近线的倾斜角为60°，则C的离心率为（　　）

  A．2

  B．3

  C． 2

  D． 3
  组卷：106引用：1难度：0.7

  解析

• 7．已知点P为椭圆

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  =

  1

  上的一个动点，点F₁，F₂分别为该椭圆的左、右焦点，当

  ∠

  F

  1

  P

  F

  2

  =

  π

  2

  时，则△F₁F₂P的面积为（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  组卷：106引用：1难度：0.7

  解析

四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．已知椭圆

  C

  ：

  y

  2

  a

  2

  +

  x

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率是

  5

  3

  ，点A（-2，0）在C上．
  （1）求C的方程；
  （2）过点（-2，3）的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．
  组卷：1604引用：22难度：0.6

  解析

• 22．若O为坐标原点，双曲线C

  ：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的离心率为

  5

  2

  ，点P在双曲线C上，点F₁，F₂分别为双曲线C的左右焦点，

  （

  |

  P

  F

  1

  |

  -

  |

  P

  F

  2

  |

  ）

  2

  =

  16

  ．M，N分别为双曲线C的左、右顶点，设过点G（4，0）的动直线l交双曲线C的右支于A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为k_AM，k_BN．
  （1）求双曲线C的标准方程；
  （2）（i）证明

  k

  AM

  k

  BN

  是否定值；
  （ii）求

  w

  =

  k

  2

  AM

  +

  2

  3

  k

  BN

  的取值范围．
  组卷：59引用：1难度：0.5

  解析