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2023-2024学年江苏省无锡市江阴市四校高二（上）期中数学试卷

发布：2024/10/5 3:0:2

一．单项选择题：（本题包括8小题，每小题5分，共40分）

1．已知直线l的方程为
x
+
3
y
-
2
=
0
，则直线的倾斜角为（　　）
A．-30° B．60° C．120° D．150°
组卷：27引用：1难度：0.8
解析
2．已知向量
a
=
（
-
1
，
2
，
3
）
，
b
=
（
2
，
x
,-
4
）
，若
a
⊥
b
，则实数x的值为（　　）
A．8 B．7 C．-7 D．14
组卷：111引用：6难度：0.8
解析
3．若圆x²+y²=1与圆（x-4）²+（y-a）²=16有3条公切线，则a=（　　）
A．-3 B．3 C．3或-3 D．5
组卷：63引用：2难度：0.7
解析
4．国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，张老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm,短轴长为20cm,小椭圆的短轴长为12cm,则小椭圆的长轴长为（　　）cm.
A．12 B．24 C．10 D．
10
3
组卷：41引用：4难度：0.7
解析
5．已知空间向量
a
=
（
2
，-
1
，
2
）
，
b
=
（
1
，-
2
，
1
）
，则向量
a
在向量
b
上的投影向量是（　　）
A．
（
4
3
，-
2
3
，
4
3
）
B．（2，-1，2）
C．
（
2
3
，-
4
3
，
2
3
）
D．（1，-2，1）
组卷：81引用：2难度：0.8
解析
6．若直线y=x+b与曲线x=
1
-
y
2
恰有一个公共点，则b的取值范围是（　　）
A．[-
2
，
2
] B．[-1，
2
] C．（-1.1]∪{
2
} D．（-1，1]∪{-
2
}
组卷：490引用：11难度：0.7
解析
7．设F是椭圆
x
2
4
+
y
2
3
=
1
上的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线
x
+
3
y
-
12
=
0
上的动点，则|PA|-|PF|的最小值为（　　）
A．
9
5
B．3 C．
13
2
D．
5
2
组卷：209引用：3难度：0.6
解析

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四、解答题：（本大题包含6大题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）．

21．如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，AC=8，PA=PC=5，O为AC中点，H为PBC内的动点（含边界）．
（1）求证：PO⊥平面ABC；
（2）求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值；
（3）若OH∥平面PAB，求直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围．
组卷：165引用：3难度：0.3
解析
22．已知椭圆E：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0），过点P（-1，-1）且与x轴平行的直线与椭圆E恰有一个公共点，过点P且与y轴平行的直线被椭圆E截得的线段长为
3
．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设过点P的动直线与椭圆E交于M，N两点，T为y轴上的一点，设直线MT和NT的斜率分别为k₁和k₂，若
1
k
1
+
1
k
2
为定值，求点T的坐标．
组卷：898引用：9难度：0.6
解析