2023年湖南省郴州市宜章县多校联考高考数学二模试卷

一、选择题：本题为单项选择题共8小题，每小题5分，共40分．

• 1．已知复数z是一元二次方程x²-2x+2=0的一个根，则|z|的值为（　　）

  A．1

  B． 2

  C．0

  D．2
  组卷：489引用：11难度：0.9

  解析

• 2．设集合M={x∈Z|lgx＜1}，N={x∈Z|2^x＞100}，则M∩N=（　　）

  A．{5，6，7}

  B．{6，7，8}

  C．{7，8，9}

  D．{8，9，10}
  组卷：120引用：4难度：0.7

  解析

• 3．函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  ln

  |

  x

  |

  -

  x

  2

  +

  2

  x

  的图象大数为（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  组卷：225引用：6难度：0.6

  解析

• 4．已知点P在棱长为4的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则

  PA

  •

  PB

  的最小值为（　　）

  A．-8

  B．-4

  C．-1

  D．0
  组卷：227引用：3难度：0.5

  解析

• 5．设函数f（x）=xsinx,若

  x

  1

  ，

  x

  2

  ∈

  [

  -

  π

  2

  ，

  π

  2

  ]

  ，且f（x₁）＞f（x₂），则下列必定成立的是（　　）

  A． x 1 2 ＞ x 2 2

  B．x1＜x2

  C．x1＞x2

  D．x1+x2＞0
  组卷：199引用：3难度：0.7

  解析

• 6．下列说法中，其中正确的是（　　）

  A．命题：“∃x≥0，x3-x-1≥0”的否定是“∀x＜0，x3-x-1＜0”

  B． x 2 + 4 x 2 + 3 的最小值为2

  C．（x-3）7=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+⋯a7（x+1）7中，a2= C 2 7 （-3）5

  D．在三棱锥P-ABC中，PA=AB=PB=AC=2 3 ，CP=2 6 ，点D是侧棱PB的中点，且CD= 21 ，则三棱锥P-ABC的外接球O的体积为 28 7 π 3
  组卷：19引用：1难度：0.6

  解析

• 7．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦点分别为F₁，F₂，若从椭圆右焦点F₂发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足AB⊥AD，且cos∠ABC=

  3

  5

  ，则该椭圆的离心率为（　　）

  A． 1 2

  B． 2 2

  C． 3 2

  D． 5 3
  组卷：710引用：13难度：0.6

  解析

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

• 21．已知函数f（x）=

  x

  2

  2

  +lnx-2ax,a为常数，且a＞0．
  （1）判断f（x）的单调性；
  （2）当0＜a＜1时，如果存在两个不同的正实数m,n且f（m）+f（n）=1-4a,证明：m+n＞2．
  组卷：214引用：3难度：0.6

  解析

• 22．马尔可夫链是因俄国数学家安德烈•马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n+1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n-1，n-2，n-3，…次状态是“没有任何关系的”．现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n（n∈N^*）次操作后，记甲盒子中黑球个数为X_n，甲盒中恰有1个黑球的概率为a_n，恰有2个黑球的概率为b_n．
  （1）求X₁的分布列；
  （2）求数列{a_n}的通项公式；
  （3）求X_n的期望．
  组卷：1353引用：5难度：0.3

  解析