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2021-2022学年上海中学高一（下）期末数学试卷

发布：2024/12/27 13:30:3

一、填空题（每空3分，共39分）

1．已知点A（1，0），B（3，0），向量
AC
=（-4，-3），则向量
BC
=
．
组卷：66引用：1难度：0.7
解析
2．已知复数z=-1-i,则|（1-z）
z
|=
．
组卷：43引用：2难度：0.7
解析
3．若
a
=（2，-1），
b
=（-3，4），则
a
在
b
方向上的数量投影是
．
组卷：30引用：2难度：0.7
解析
4．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱BB₁与平面A₁BC₁所成角的余弦值为
．
组卷：72引用：1难度：0.6
解析
5．设x为虚数，若x+
1
x
=-1，则x²⁰²²-
1
x
2022
=
．
组卷：65引用：1难度：0.7
解析
6．在四面体ABCD中，若棱AC与BD所成角为60°，且AC=BD=4，则连接AB，BC，CD，DA四条棱的中点所得四边形的面积为
．
组卷：37引用：2难度：0.6
解析
7．在复平面上，四个复数所对应的点分别位于一个正方形的四个顶点，其中三个复数分别是1+2i,-2+i,-1-2i,则第四个复数是
．
组卷：50引用：1难度：0.6
解析

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三、解答题（本大题共6题，共48分，解答各题必须写出必要的步骤）

21．如图，某钢性“钉”由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O，钉尖为A_i（i=1，2，3，4）．
（1）当A₁，A₂，A₃在同一水平面内时，求OA₁与平面A₁A₂A₃所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）若该“钉”的三个端尖所确定的三角形的面积为2
3
c
m
2
，要用某种线性材料复制100枚这种“钉”（损耗忽略不计），共需要该种材料多少厘米？
组卷：22引用：2难度：0.4
解析
22．我们学过二维的平面向量，其坐标为
α
=（t₁，t₂）（t_k∈R，k=1，2），那么对于n（n∈N^*，n≥2）维向量，其坐标为
α
=（t₁，t₂，⋯，t_n）（t_k∈R，k=1，2，⋯，n）．设n（n∈N^*，n≥2）维向量的所有向量组成集合A_n={
α
|
α
=（t₁，t₂，⋯，t_n），t_k∈R，k=1，2，⋯，n}．当
α
=（t₁，t₂，⋯，t_n）（t_k∈{0，1}，k=1，2，⋯，n）时，称为A_n的“特征向量”，如A₂={
α
|
α
=（t₁，t₂），t_k∈R，k=1，2}的“特征向量”有
α
1
=（0，0），
α
2
=（0，1），
α
3
=（1，0），
α
4
=（1，1）．
设
α
=（x₁，x₂，⋯，x_n）和
β
=（y₁，y₂，⋯，y_n）为A_n的“特征向量”，定义|
α
，
β
|=
1
2
[
（
x
1
+
y
1
-
|
x
1
-
y
1
|
）
+
（
x
2
+
y
2
-
|
x
2
-
y
2
|
）
+
⋯
+
（
x
n
+
y
n
-
|
x
n
-
y
n
|
）
]
．
（1）若
α
，
β
∈A₃，且
α
=（1，1，0），
β
=（0，1，1），计算|
α
，
α
|，|
α
，
β
|的值；
（2）设B⊆A₄且B中向量均为A₄的“特征向量”，且满足：∀
α
，
β
∈B，当
α
=
β
时，|
α
，
β
|为奇数；当
α
≠
β
时，|
α
，
β
|为偶数．求集合B中元素个数的最大值；
（3）设
B
⊆
A
n
（
n
∈
N
*
，
n
≥
2
）
，且B中向量均为A_n的“特征向量”，且满足：∀
α
，
β
∈B，且α≠β时，|
α
，
β
|=0．写出一个集合B，使其元素最多，并说明理由．
组卷：56引用：3难度：0.4
解析