2022-2023学年上海杨浦区复旦大学附中高三（下）月考数学试卷（3月份）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分。第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

• 1．已知集合A={x|x²-6x+8≤0}，B={x||x-3|＜2，x∈Z}，则A∩B=

  ．
  组卷：367引用：3难度：0.7

  解析

• 2．设i是虚数单位，则复数

  1

  -

  3

  i

  1

  +

  i

  的虚部为

   

  ．
  组卷：162引用：4难度：0.7

  解析

• 3．已知幂函数y=f（x）的图像过点（9，3），则f（2）的值为

  ．
  组卷：76引用：1难度：0.8

  解析

• 4．已知3^a=4^b=m,

  1

  a

  +

  1

  2

  b

  =

  2

  ，则m=

  ．
  组卷：102引用：5难度：0.7

  解析

• 5．直线l的方程为（a-2）y=（3a-1）x-1，若直线l不经过第二象限，则实数a的取值范围是

  ．
  组卷：290引用：5难度：0.8

  解析

• 6．已知a、b为实数，函数

  y

  =

  lnx

  +

  a

  x

  在x=1处的切线方程为4y-x-b=0，则ab的值为

  ．
  组卷：157引用：3难度：0.7

  解析

• 7．若关于x的方程2sin²x-

  3

  sin2x+m-1=0在（

  π

  2

  ，π）上在实数根，则实数m的取值范围是

  ．
  组卷：248引用：5难度：0.5

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。

• 20．椭圆Γ₁：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的焦点F₁、F₂是一个等轴双曲线Γ₂的顶点、其顶点是双曲线Γ₂的焦点，椭圆Γ₁与双曲线Γ₂有一个交点P，△PF₁F₂的周长为4+2

  2

  ．
  （1）求椭圆Γ₁与双曲线Γ₂的标准方程；
  （2）点M是双曲线Γ₂上的任意不同于其顶点的动点，设直线MF₁、MF₂，的斜率分别为k₁、k₂，求k₁•k₂的值；
  （3）过点Q（-4，0）任作一动直线l交椭圆Γ₁于A、B两点，记

  AQ

  =

  λ

  QB

  （λ∈R）．若在线段AB上取一点R，使得

  AR

  =

  （

  -

  λ

  ）

  RB

  ，试判断当直线l运动时，点R是否在某一定曲线上运动？若是，求出该定曲线的方程；若不是，请说明理由．
  组卷：92引用：1难度：0.5

  解析

• 21．若函数y=f（x）图像上存在相异的两点P、Q，使得函数y=f（x）在点P和点Q处的切线重合，则称y=f（x）是“双切函数”，点P、Q为“双切点”，直线PQ为y=f（x）的“双切线”．
  （1）若f（x）=x⁶-3，判断函数y=f（x）是否为“双切函数”，并说明理由；
  （2）若

  f

  （

  x

  ）

  =

  x

  3

  +

  1

  x

  ，证明：函数y=f（x）是“双切函数”，并求出其“双切线”；
  （3）f（x）=x⁴+bx³+cx²+dx+e,求证：“y=f（x）”是“双切函数”的充要条件是“3b²＞8c”．
  组卷：109引用：1难度：0.6

  解析