时代数学报第三届数学文化节九年级复赛试卷

一、选择题（共1小题，每小题7分，满分7分）

• 1．运算与推理以下是甲、乙两人得到

  14

  +

  6

  ＞

  14

  +

  6

  的推理过程：（甲）因为

  14

  ＞

  9

  =3，

  6

  ＞

  4

  =2，所以

  14

  +

  6

  ＞3+2=5．又

  14

  +

  6

  =

  20

  ＜

  25

  =5，所以

  14

  +

  6

  ＞

  14

  +

  6

  ．（乙）作一个直角三角形，两直角边长分别为

  14

  ，

  6

  ．利用勾股定理得斜边长的平方为

  20

  ，所以

  14

  +

  6

  ＞

  14

  +

  6

  ．对于两个人的推理，下列说法中正确的是（　　）

  A．两人都正确	B．两人都错误
  C．甲正确，乙错误	D．甲错误，乙正确
  组卷：170引用：8难度：0.7

  解析

二、填空题（共12小题，每小题7分，满分84分）

• 2．在数学文化节第一轮活动中，我们以探讨一个趣题的方式纪念了数学大师欧拉诞辰300周年．著名数学家拉普拉斯说过：“读读欧拉，他是我们所有人的导师．”是啊！欧拉在数学上的贡献实在太多了，即使在初等数学中也到处可见他的身影．我们再来看看欧拉研究过的“36军官问题”：
  从6支部队中各选出6名不同军衔的军官，将这36名军官排成一个6行6列的方阵，要求每行每列的6个军官分别来自不同的部队，并具有不同的军衔．用大写字母A，B，C，D，E，F分别表示6支不同的部队，用小写字母a,b,c,d,e,f分别表示6种不同的军衔，于是问题转化为：在6×6的方格阵中，每个方格分别填入一个大写字母和一个小写字母，使每行和每列中的大小写字母只能各出现一次（通常称这种方阵为欧拉方阵或正交拉丁方）．欧拉搅尽脑汁，也没能排出符合要求的6×6方阵，他猜想并不存在这样的6×6方阵．100多年以后，才有人证明了欧拉的这个猜想是正确的．
  于是欧拉继而探究了其他情形，例如，他分别作出了3×3，4×4，5×5正交拉丁方，并证明了当n除以4的余数不等于2时，n×n正交拉丁方是存在的．
  正交拉丁方在药品配方试验设计等方面有着广泛应用．现在流行的“数独”游戏和比赛，就是发源于拉丁方问题呢！
  如下是一个5×5正交拉丁方，请将剩余的字母填上

  ．
  

  Aa	Be	Cd	Dc	Eb
  Ec	Ab	Ba	Ce	Dd
  De	Ed	Ac	Bb	Ca
  Cb	Da	Ee
  Bd	Cc	Db
  组卷：68引用：1难度：0.9

  解析

• 3．中国剩余定理，此定理源于我国古代数学名著《孙子算经》，其中记载了这样一个“物不知数”的问题：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这个问题的意思是：有一个正整数，除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的正整数．此问题及其解题原理在世界上颇负盛名，中外数学家们称之为“孙子定理”、“中国剩余定理”或“大衍求一术”等．对以上“物不知数”的问题，求得满足条件的最小正整数为

  ，而满足条件的所有正整数可用代数式表示为

  ．
  组卷：91引用：1难度：0.9

  解析

• 4．如图，在正方形PQRS中，M、N分别为QR、RS上的点，且∠MPN=30°．若△PMN为等腰三角形，且面积为1，则正方形PQRS的面积为

   

  ．
  组卷：197引用：2难度：0.9

  解析

• 5．设一元二次方程x²+px+q=0（p,q为常数）的两根为x₁，x₂，则x²+px+q=（x-x₁）（x-x₂），即x²+px+q=x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂，比较两边x的同次幂的系数，得

  x 1 + x 2 = - p ①

  x 1 x 2 = q ②

  这两个式子揭示了一元二次方程的根与系数之间的关系，且关系式①②中，x₁，x₂的地位是对等的（即具有对称性，如将x₁，x₂互换，原关系式不变）．类似地，设一元三次方程x³+px²+qx+r=0（p,q,r为常数）的3个根为x₁，x₂，x₃，则x³+px²+qx+r=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）．由此可得方程x³+px²+qx+r=0的根x₁，x₂，x₃与系数p,q,r之间存在一组对称关系式：

  x 1 + x 2 + x 3 = （ ㅤㅤ ）

  x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 = （ ㅤㅤ ）

  x 1 x 2 x 3 = （ ㅤㅤ ）

  ，

  ，

  ．
  组卷：47引用：3难度：0.7

  解析

• 6．如图，有两个转盘，每个转盘都分为3个相同大小的扇形区域，分别用序号1，2，3标出．现转动两个转盘，等转盘停止运动时，指针指向每个区域的可能性相等（不计指针与两个区域交线重合的情形），将所得区域的序号相乘，比较所得积为奇数或偶数的概率大小．有人说，因为两个转盘中奇数序号都比偶数序号多，显然所得积为奇数概率大，你同意他的看法吗？

   

  （填“同意”、“不同意”或“概率大小不确定”）
  
  组卷：27引用：1难度：0.7

  解析

三、解答题（共7小题，满分59分）

• 19．变与不变将一长方形纸片折出如图所示的图形，其中∠AEB=30°，BG：GH：HC=2：4：1，如果DH=3cm,求AE+EF的长．
  组卷：43引用：1难度：0.3

  解析

• 20．画龙点睛在本届数学文化节第一轮活动书面问题中介绍了数学语言包括文字语言、符号语言、图形语言等．我们来看一道用文字语言表述的数学问题：“一个正数的平方与这个数的2倍的和等于24，求这个数．”此题用符号语言简洁地表示为（设该数为x）：
  “解方程

  （x＞0）．”
  如图，也可用图形语言直观地表示为如下的问题：“已知图形的总面积为24，求x.”
  现在来看看如何利用图形帮助我们理解方程的解法：
  解：由x²+2x=24，配方得x²+2x+1=25．（*）
  所以（x+1）²=25．（**）
  因为x＞0，所以x+1=5，x=4．
  请在所给图中添上辅助线，表示（*）和（**）式中配方的几何意义．
  组卷：161引用：1难度：0.5

  解析