2023年北京市海淀区高考数学一模试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

• 1．已知集合A={x|1＜x＜3}，B={0，1，2}，则A∩B=（　　）

  A．{2}

  B．{0，1}

  C．{1，2}

  D．{0，1，2}
  组卷：371引用：4难度：0.9

  解析

• 2．若a+2i=i（b+i）（a,b∈R），其中i是虚数单位，则a+b=（　　）

  A．-1

  B．1

  C．-3

  D．3
  组卷：392引用：4难度：0.9

  解析

• 3．在等差数列{a_n}中，a₂=1，a₄=5，则a₈=（　　）

  A．9

  B．11

  C．13

  D．15
  组卷：1011引用：11难度：0.7

  解析

• 4．已知抛物线y²=4x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P的横坐标为4，则|PF|=（　　）

  A．2

  B．3

  C．4

  D．5
  组卷：546引用：5难度：0.7

  解析

• 5．若（x-1）⁴=a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀，则a₄-a₃+a₂-a₁=（　　）

  A．-1

  B．1

  C．15

  D．16
  组卷：767引用：5难度：0.9

  解析

• 6．已知直线y=x+m与圆O：x²+y²=4交于A，B两点，且△AOB为等边三角形，则m的值为（　　）

  A． ± 2

  B． ± 3

  C．±2

  D． ± 6
  组卷：765引用：5难度：0.7

  解析

• 7．在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∠BAC的平分线交BC于点D．若

  AD

  =

  λ

  AB

  +

  μ

  AC

  （λ，μ∈R）则

  λ

  μ

  =（　　）

  A． 1 3

  B． 1 2

  C．2

  D．3
  组卷：1028引用：8难度：0.5

  解析

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

• 20．已知函数f（x）=e^ax-x,
  （Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
  （Ⅱ）求f（x）的单调区间；
  （Ⅲ）若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得f（x₁）f（x₂）≥9，求a的取值范围．
  组卷：1029引用：1难度：0.6

  解析

• 21．已知数列{a_n}．给出两个性质：
  ①对于{a_n}中任意两项a_ia_j（i≥j），在{a_n}中都存在一项a_k，使得a_k=a_ia_j；
  ②对于{a_n}中任意连续三项a_n，a_n+1，a_n+2，均有

  （

  a

  n

  -

  a

  n

  +

  1

  -

  a

  n

  +

  2

  ）

  （

  a

  n

  -

  1

  2

  a

  n

  +

  1

  -

  a

  n

  +

  2

  ）

  =

  0

  ．
  （Ⅰ）分别判断一下两个数列是否满足性质①，并说明理由；
  （i）有穷数列{a_n}：a_n=2^n-1（n=1，2，3）；
  （ii）无穷数列{b_n}：b_n=2n-1（n=1，2，3，…）．
  （Ⅱ）若有穷数列{a_n}满足性质①和性质②，且各项互不相等，求项数m的最大值；
  （Ⅲ）若数列{a_n}满足性质①和性质②，且a₁＞0，a₂＜-1，a₃=2，求{a_n}的通项公式．
  组卷：337引用：3难度：0.3

  解析