2023-2024学年上海市浦东新区华东师大二附中高三（上）期中数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）

• 1．不等式

  x

  -

  2

  x

  -

  1

  ≥2的解集是

  ．
  组卷：446引用：14难度：0.9

  解析

• 2．已知

  α

  ∈

  （

  -

  π

  2

  ，

  0

  ）

  ，

  cos

  （

  α

  -

  π

  2

  ）

  =

  -

  3

  5

  ，则sin2α=

  ．
  组卷：70引用：1难度：0.8

  解析

• 3．设

  z

  =

  2

  +

  i

  1

  +

  i

  2

  +

  i

  5

  ，则

  z

  =

  ．
  组卷：36引用：2难度：0.8

  解析

• 4．钝角△ABC中，

  a

  =

  7

  ，

  b

  =

  3

  ，

  A

  =

  60

  °

  ，则△ABC的面积是

  ．
  组卷：96引用：3难度：0.7

  解析

• 5．圆x²+y²+ax+2ay+2a²+a-1=0的半径的最大值为

  ．
  组卷：232引用：7难度：0.5

  解析

• 6．记S_n为等比数列{a_n}的前n项和，若S₄=-5，S₆=21S₂，则S₈=

  ．
  组卷：128引用：3难度：0.7

  解析

• 7．已知

  a

  、

  b

  满足

  |

  a

  +

  2

  b

  |

  =

  1

  ，且

  a

  =

  （

  1

  ，-

  1

  ）

  ，则

  b

  在

  a

  上数量投影的最小值为

  ．
  组卷：43引用：1难度：0.5

  解析

三、解答题（本大题共有5题满分78分）解下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

• 20．过坐标原点O作圆C：（x+2）²+y²=3的两条切线，设切点为P，Q，直线PQ恰为抛物线E：y²=2px（p＞0）的准线．
  （1）求抛物线E的标准方程；
  （2）设点T是圆C的动点，抛物线E上四点A，B，M，N满足：

  TA

  =

  2

  TM

  ，

  TB

  =

  2

  TN

  ，设AB中点为D．
  （i）求直线TD的斜率；
  （ii）设△TAB面积为S，求S的最大值．
  组卷：571引用：9难度：0.4

  解析

• 21．已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=x²+bx+1（b为常数），h（x）=f（x）-g（x）．
  （1）若存在过原点的直线与函数f（x）、g（x）的图象相切，求实数b的值；
  （2）当b=-2时，∃x₁、x₂∈[0，1]使得h（x₁）-h（x₂）≥M成立，求M的最大值；
  （3）若函数h（x）的图象与x轴有两个不同的交点A（x₁，0）、B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂，求证：h′（

  x

  1

  +

  x

  2

  2

  ）＜0．
  组卷：288引用：4难度：0.1

  解析