2021-2022学年北京八中高二（下）期末数学试卷

一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

• 1．设全集U是实数集R，M={x||x|≥2}，N={x|1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是（　　）

  A．{x|-2＜x＜1}

  B．{x|-2＜x＜2}

  C．{x|1＜x＜2}

  D．{x|x＜2}
  组卷：194引用：11难度：0.9

  解析

• 2．设a,b,c为非零实数，且a＞b＞c,则下列判断中正确的是（　　）

  A．a+b＞c

  B．ab＞c2

  C．ac2＞bc2

  D． 1 a + 1 b ＜ 2 c
  组卷：107引用：1难度：0.7

  解析

• 3．已知函数f（x）的图象如图所示，那么下列各式正确的是（　　）

  A．f′（1）＜f′（2）＜f′（3）＜0	B．f′（1）＞f′（2）＞f′（3）＞0
  C．f′（3）＜f′（2）＜f′（1）＜0	D．f′（3）＞f′（2）＞f′（1）＞0
  组卷：180引用：3难度：0.7

  解析

• 4．一个关于自然数n的命题，已经验证知n=1时命题成立，并在假设n=k（k为正整数）时命题成立的基础上，证明了当n=k+2时命题成立，那么综上可知，该命题对于（　　）

  A．一切自然数成立	B．一切正整数成立
  C．一切正奇数成立	D．一切正偶数成立
  组卷：115引用：5难度：0.8

  解析

• 5．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解出这个问题的概率

  1

  4

  ，乙解出这个问题的概率是

  1

  2

  ，那么其中至少有1人解出这个问题的概率是（　　）

  A． 3 4

  B． 1 8

  C． 7 8

  D． 5 8
  组卷：174引用：6难度：0.8

  解析

• 6．已知二次函数f（x）=ax²+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则

  1

  c

  +

  4

  a

  的最小值为（　　）

  A．4

  B．6

  C．8

  D．10
  组卷：336引用：3难度：0.7

  解析

• 7．下列函数中，在（0，+∞）为增函数的是（　　）

  A．y=tanx

  B．y= 1 x

  C．y=e|x-1|

  D．y=x+ 1 x + 1
  组卷：373引用：2难度：0.8

  解析

三、解答题共5小题，共65分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

• 21．已知函数f（x）=e^x+x²+ax（a∈R），其中e是自然对数的底数．
  （Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极小值，求a的值；
  （Ⅱ）若存在x₁，x₂（x₁≠x₂），使得f（x₁）=f（x₂），且x₁+x₂=2，求a的取值范围．
  组卷：135引用：1难度：0.5

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• 22．设A为非空集合，令A×A={（x,y）|x,y∈A}，则A×A的任意子集R都叫做从A到A的一个关系（Relation），简称A上的关系．
  例如A={0，1，2}时，R₁={（0，2）}，R₂=A×A，R₃=∅，R₄={（0，0），（2，1）}等都是A上的关系．
  设R为非空集合A上的关系．给出如下定义：
  ①（自反性）若∀x∈A，有（x,x）∈R，则称R在A上是自反的；
  ②（对称性）若∀（x,y）∈R，有（y,x）∈R，则称R在A．上是对称的；
  ③（传递性）若∀（x,y），（y,z）∈R，有（x,z）∈R，则称R在A．上是传递的；
  如果R同时满足这3条性质，则称R为A上的等价关系．
  （Ⅰ）已知A={0，1，2}，按要求填空：
  （ⅰ）用列举法写出A×A=

  ；
  （ⅱ）A上的关系有

  个（用数值作答）；
  （ⅲ）用列举法写出A上的所有等价关系：{（0，0），（1，1），（2，2）}，{（0，0），（1，1），（2，2），（0，1），（1，0）}，{（0，0），（1，1），（2，2），（0，2），（2，0）}，
  

  ，

  共5个．
  （Ⅱ）设R₁，和R₂是某个非空集合A上的关系，证明：
  （ⅰ）若R₁，R₂是自反的和对称的，则R₁∪R₂也是自反的和对称的：
  （ⅱ）若R₁，R₁是传递的，则R₁∩R₂也是传递的．
  （Ⅲ）若给定的集合A有n个元素（n≥4）A₁，A₂，⋯A_m（2≤m≤n）为A的非空子集，满足A₁∪A₂∪⋯∪A_m=A且两两交集为空集．
  求证：R=（A₁×A₁）∪（A₂×A₂）∪⋯∪（A_m×A_m）为A上的等价关系．
  组卷：280引用：1难度：0.3

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