2022-2023学年上海市宝山区吴淞中学高三（上）开学数学试卷

一、填空题

• 1．不等式

  x

  x

  -

  1

  ＜0的解集为

   

  ．
  组卷：730引用：16难度：0.9

  解析

• 2．已知i是虚数单位，复数z满足

  z

  •

  （

  1

  +

  3

  i

  ）

  =

  1

  ，则|z|=

  ．
  组卷：392引用：8难度：0.9

  解析

• 3．若函数f（x）=3sin（ωx+φ）对任意实数x都有f（

  π

  6

  +x）=f（

  π

  6

  -x），则f（

  π

  6

  ）=

  ．
  组卷：204引用：4难度：0.7

  解析

• 4．若圆柱的轴截面面积为Q，则它的侧面积为

  ．
  组卷：51引用：3难度：0.7

  解析

• 5．若直线l：y=kx与曲线

  C

  ：

  x = 2 + cosθ

  y = sinθ

  （参数θ∈R）有唯一的公共点，则实数k=

  ．
  组卷：86引用：9难度：0.7

  解析

• 6．在

  （

  3

  x

  -

  2

  x

  ）

  n

  的二项展开式中，若所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于
  组卷：589引用：18难度：0.7

  解析

• 7．若方程

  x

  2

  +

  1

  =a（x-1）恰有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是

  ．
  组卷：108引用：5难度：0.6

  解析

三、解答题

• 20．已知椭圆C₁：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）经过点M（1，

  3

  2

  ），且其右焦点与抛物线C₂：y²=4x的焦点F重合，过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P，Q两点．
  （1）求椭圆C₁的方程；
  （2）设O为坐标原点，线段OF上是否存在点N（n,0），使得

  QP

  •

  NP

  =

  PQ

  •

  NQ

  ？若存在，求出n的取值范围；若不存在，说明理由；
  （3）过点P₀（4，0）且不垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为E，试证明：直线AE过定点．
  组卷：163引用：5难度：0.1

  解析

• 21．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，首项为a₁，且

  1

  2

  ，

  a

  n

  ，S_n成等差数列．
  （1）判断数列{a_n}是否为等比数列？若是，写出通项公式，若不是，请说明理由；
  （2）若b_n=-2log₂a_n，设c_n=

  b

  n

  a

  n

  ，求数列{c_n}的前n项和T_n；
  （3）若不等式

  3

  n

  -

  2

  8

  n

  T_n

  ≤

  1

  4

  m

  2

  -m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．
  组卷：86引用：3难度：0.8

  解析