人教五四新版九年级（上）中考题单元试卷：第28章 二次函数（24）

一、解答题（共30小题）

• 1．已知：如图，在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，-1），B（3，-1），动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点P移动的时间t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．
  （1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；
  （2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；
  （3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t,使得△OPQ的顶点O或顶点Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
  （4）求出S与t的函数关系式．
  组卷：3880引用：61难度：0.1

  解析

• 2．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为直线x=1．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；
  （3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．
  组卷：3582引用：62难度：0.1

  解析

• 3．如图，已知抛物线y=

  k

  8

  （x+2）（x-4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=-

  3

  3

  x+b与抛物线的另一交点为D．
  （1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；
  （2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；
  （3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
  组卷：9672引用：70难度：0.1

  解析

• 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx-3（a≠0）与x轴交于点A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
  （3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S_△CBK：S_△PBQ=5：2，求K点坐标．
  组卷：5710引用：69难度：0.1

  解析

• 5．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-3，0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；
  （3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．
  组卷：4912引用：62难度：0.1

  解析

• 6．如图，已知抛物线y=x²+bx+c的顶点坐标为M（0，-1），与x轴交于A、B两点．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）判断△MAB的形状，并说明理由；
  （3）过原点的任意直线（不与y轴重合）交抛物线于C、D两点，连接MC，MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由．
  组卷：2343引用：56难度：0.1

  解析

• 7．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（-2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
  （3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
  组卷：5310引用：67难度：0.1

  解析

• 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x²-3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．
  （1）求点M、A、B坐标；
  （2）连接AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；
  （3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x轴正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标．
  组卷：4690引用：54难度：0.1

  解析

• 9．如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x,y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．
  （1）若l：y=-2x+2，则P表示的函数解析式为

  ；若P：y=-x²-3x+4，则l表示的函数解析式为

  ．
  （2）求P的对称轴（用含m,n的代数式表示）；
  （3）如图②，若l：y=-2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；
  （4）如图③，若l：y=mx-4m,G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=

  10

  ，直接写出l,P表示的函数解析式．
  
  组卷：4042引用：56难度：0.1

  解析

• 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
  （1）求抛物线的解析式；
  （2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
  （3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
  
  组卷：5197引用：61难度：0.1

  解析

一、解答题（共30小题）

• 29．如图，抛物线y=x²-2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过P（1，-m）作PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．
  （1）若m=2，求点A和点C的坐标；
  （2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值；
  （3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：2121引用：53难度：0.1

  解析

• 30．如图，抛物线y=-

  1

  4

  x²+

  3

  2

  x-2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两平行线交于点D，将△BDC绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到△FEC，连接BF．
  （1）求点B，C所在直线的函数解析式；
  （2）求△BCF的面积；
  （3）在线段BC上是否存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
  组卷：2235引用：52难度：0.1

  解析