2023年重庆市南开中学高考数学第八次质检试卷

一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求

• 1．设全集U={-2，-1，0，1，2}，集合A={1，-1，0}，B={-1，2}，则A∪∁_UB=（　　）

  A．{0，1}

  B．{-2，0，1}

  C．{-1，0，1}

  D．{-2，-1，0，1}
  组卷：83引用：3难度：0.9

  解析

• 2．已知i为虚数单位，复数z=（1-2i）（a+i）的虚部与实部之和为0，则实数a=（　　）

  A．-1

  B．0

  C．1

  D．3
  组卷：72引用：1难度：0.8

  解析

• 3．已知函数f（x）=x-

  1

  x

  ，则如图所对应的函数的解析式为​（　　）

  A．y=f（|x+1|）

  B．y=f（|x|-1）

  C．y=f（|x|+1）

  D．y=|f（x+1）|
  组卷：74引用：1难度：0.7

  解析

• 4．已知点P引圆x²+y²-6x-8y+24=0的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，若△PAB为等边三角形，则|OP|的取值范围是（　　）

  A．[4，6]

  B．[3，7]

  C．[3，6]

  D．[2，8]
  组卷：112引用：2难度：0.8

  解析

• 5．在△ABC中，D为BC的中点，E为边AC上靠近点C的三等分点，记

  AD

  =

  a

  ，

  BE

  =

  b

  ，用

  a

  ，

  b

  表示

  BC

  为（　　）

  A． 1 3 a + b

  B．- 2 3 a +2 b

  C． 2 a - b

  D． 2 5 a + 6 5 b
  组卷：116引用：2难度：0.8

  解析

• 6．已知一个15位正整数N=a×10¹⁴（1≤a＜10），且N的30次方根仍是一个整数，则这个30次方根为（参考数据：lg2≈0.3，lg3=0.48，lg5≈0.7）（　　）

  A．3

  B．4

  C．5

  D．6
  组卷：80引用：1难度：0.6

  解析

• 7．已知点P为双曲线C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）上位于第一象限内的一点，过点P向双曲线C的一条渐近线l作垂线，垂足为A，F₁ 为双曲线C的左焦点，若

  PA

  =

  2

  A

  F

  1

  ，则渐近线l的斜率为（　　）

  A．-3

  B． - 2 2

  C． - 5

  D． - 3 2
  组卷：197引用：4难度：0.6

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

• 21．已知椭圆C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的左右焦点为F₁，F₂，|F₁F₂|=2

  3

  ，P为椭圆C上异于长轴端点的一个动点，O为坐标原点，直线PF₁，PO，PF₂分别与椭圆C交于另外三点M，Q，N，当P为椭圆上顶点时，有

  P

  F

  1

  =2

  F

  1

  M

  ．
  （1）求椭圆C的标准方程；
  （2）求

  S

  △

  PO

  F

  1

  S

  △

  PQM

  +

  S

  △

  PO

  F

  2

  S

  △

  PQN

  的最大值．
  组卷：196引用：2难度：0.5

  解析

• 22．已知函数f（x）=x+alnx+

  2

  a

  2

  x

  ，其中a＞0．
  （1）若f（x）≥a恒成立，求a的取值范围；
  （2）令g（x）=f（x）-

  4

  a

  2

  x

  ，已知0＜p＜q＜r且2q＞p+r,试证明：g（p）+g（r）＜2g（q）．
  组卷：58引用：1难度：0.6

  解析