2023年上海市徐汇区南洋中学高考数学三模试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

• 1．已知全集U=R，集合A={-1，0，1，2}，B={x|0＜x＜3}，则

  A

  ∩

  B

  =

  ．
  组卷：52引用：1难度：0.7

  解析

• 2．已知直线l₁：x+y=0，l₂：ax+2y+1=0，若l₁⊥l₂，则a=

  ．
  组卷：85引用：2难度：0.7

  解析

• 3．复数

  z

  =

  a

  -

  i

  1

  +

  i

  （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则实数a的值为

  ．
  组卷：41引用：1难度：0.8

  解析

• 4．已知向量

  a

  =

  （

  1

  ，-

  2

  ）

  ，

  b

  =

  （

  3

  ，

  4

  ）

  ，则向量

  a

  在向量

  b

  方向上的数量投影为

  ．
  组卷：82引用：2难度：0.8

  解析

• 5．

  （

  xlo

  g

  4

  3

  +

  lo

  g

  3

  2

  x

  ）

  4

  展开式的常数项为

  .（用最简分数表示）
  组卷：131引用：5难度：0.7

  解析

• 6．等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且4a₁，2a₂，a₃成等差数列．若a₁=1，则S₄=

  ．
  组卷：490引用：32难度：0.7

  解析

• 7．已知一个半径为4的扇形圆心角为θ（0＜θ＜2π），面积为2π，若tan（θ+φ）=3，则tanφ=

  ．
  组卷：84引用：4难度：0.7

  解析

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.

• 20．椭圆Γ₁：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的焦点F₁、F₂是双曲线Γ₂的顶点，其顶点是双曲线Γ₂的焦点．双曲线Γ₂的渐近线是y=±x,椭圆Γ₁与双曲线Γ₂有一个交点P，△PF₁F₂的周长为4+2

  2

  ．
  （1）求椭圆Γ₁与双曲线Γ₂的标准方程；
  （2）设直线l₁：y=k₁x+p交双曲线Γ₂于C、D两点，交直线l₂：y=k₂x于点E，若k₁k₂=1．证明：E为CD的中点；
  （3）过点Q（-4，0）作一动直线l交椭圆Γ₁于A、B两点，记

  AQ

  =

  λ

  QB

  （

  λ

  ∈

  R

  ）

  ．若在线段AB上取一点M，使得

  AM

  =

  （

  -

  λ

  ）

  MB

  ，求点M的轨迹方程．
  组卷：111引用：2难度：0.2

  解析

• 21．设函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  （

  x

  2

  +

  ax

  +

  2

  a

  ）

  e

  x

  ，其中a为常数．对于给定的一组有序实数（k,m），若对任意x₁、x₂∈R，都有[kx₁-f（x₁）+m]•[kx₂-f（x₂）+m]≥0，则称（k,m）为f（x）的“和谐数组”．
  （1）若a=0，判断数组（0，0）是否为f（x）的“和谐数组”，并说明理由；
  （2）若

  a

  =

  4

  2

  ，求函数f（x）的极值点；
  （3）证明：若（k,m）为f（x）的“和谐数组”，则对任意x∈R，都有kx-f（x）+m≤0．
  组卷：110引用：5难度：0.4

  解析