2020-2021学年上海交大附中高二（下）开学数学试卷

一、填空题

• 1．设（1+2i）•

  z

  =2-4i（i为虚数单位），则|z|=

  ．
  组卷：67引用：2难度：0.8

  解析

• 2．已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于

  ．
  组卷：1304引用：6难度：0.9

  解析

• 3．直线

  x = 3 + 4 t

  y = 4 - 5 t

  （t为参数）的斜率为

  ．
  组卷：41引用：13难度：0.7

  解析

• 4．已知直线l的一个方向向量

  d

  =（2，3，5），平面α的一个法向量

  n

  =（-4，m,n），若l⊥α，则m+n=

  ．
  组卷：258引用：6难度：0.7

  解析

• 5．已知抛物线x=2py²上的点A（2，2），则A到准线的距离为

  ．
  组卷：226引用：4难度：0.8

  解析

• 6．如图，以长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若

  D

  B

  1

  的坐标为（4，3，2），则

  A

  C

  1

  的坐标是

  ．
  组卷：1108引用：26难度：0.7

  解析

• 7．已知关于x的实系数方程x²+ax+b=0有一个模为1的虚根，则a的取值范围是

  ．
  组卷：167引用：2难度：0.8

  解析

三、解答题

• 20．如图，在Rt△SOA中，∠OSA=

  π

  6

  ，斜边SA=4，半圆H的圆心H在边OS上，且与SA相切，现将Rt△SOA绕SO旋转一周得到一个几何体，点B为圆锥底面圆周上一点，且∠AOB=90°．
  
  （1）求球H的半径；
  （2）求点O到平面SAB的距离；
  （3）设P是圆锥的侧面与球的交线上一点，求PO与平面SAB所成角正弦值的范围．
  组卷：154引用：4难度：0.6

  解析

• 21．已知双曲线Γ：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0），设P是双曲线Γ上任意一点，O为坐标原点，F为双曲线右焦点，A₁、A₂为双曲线的左、右顶点．
  （1）若

  d

  =

  （

  2

  ，

  3

  ）

  是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的夹角θ；
  （2）已知：无论点P在右支的何处，总有|PO|＞|PF|，求

  b

  a

  的取值范围；
  （3）若a=2，b=

  3

  ，动点Q与双曲线的顶点不重合，直线QA₁和直线QA₂与直线l：x=1相交于点S和T，试问：以线段ST为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标，若不是，试说明理由．
  组卷：133引用：1难度：0.5

  解析