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2023年浙江省杭州市高考数学一模试卷

发布：2024/4/20 14:35:0

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

1．已知集合A={x|2^x＞2}，B={x||x-1|＜2}，则A∩B=（　　）
A．（-∞，3） B．（-1，1） C．（1，3） D．（3，+∞）
组卷：101引用：1难度：0.8
解析
2．已知i为虚数单位，复数z=
1
-
2
i
2
+
i
，则|z|等于（　　）
A．
5
5
B．1 C．
5
D．5
组卷：111引用：3难度：0.8
解析
3．已知单位向量
a
，
b
满足|
a
+
b
|=1，则
a
在
b
方向上的投影向量为（　　）
A．
1
2
b
B．-
1
2
b
C．
1
2
a
D．-
1
2
a
组卷：798引用：6难度：0.7
解析
4．国际数学家大会已经有了一百多年历史，每届大会都是吸引当时世界上研究各类数学和相关问题的世界顶级科学家参与21世纪的第一次国际数学家大会在我国北京举行，有来自100多个国家的4200多位数学家参加了本次大会．这次大会的“风车“会标取材于我国古代数学著作《勾股圆设方图》，该弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为α（0°＜α＜45°），且大正方形与小正方形面积之比为25：1，则cosα的值为（　　）
A．
3
5
B．
3
4
C．
4
5
D．
24
25
组卷：154引用：2难度：0.6
解析
5．四位爸爸A、B、C、D相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练，其中每位爸爸都与一个别人家的小孩进行交谈，则A的小孩与D交谈的概率是（　　）
A．
1
3
B．
1
2
C．
5
9
D．
2
3
组卷：315引用：3难度：0.7
解析
6．已知函数
f
（
x
）
=
cosωx
-
3
sinωx
（ω＞0），若f（x）在区间[0，2π]上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是（　　）
A．
[
5
6
，
4
3
）
B．
[
13
12
，
19
12
）
C．
[
4
3
，
19
12
）
D．
[
13
12
，
4
3
）
组卷：908引用：5难度：0.5
解析
7．若
a
=
2
，
b
=
e
1
e
，
c
=
π
1
π
，则（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b
组卷：346引用：6难度：0.6
解析

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四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

21．已知双曲线E：
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
的离心率为
5
，并且经过点（
2
，2）．
（1）求双曲线E的方程．
（2）若直线l经过点（2，0），与双曲线右支交于P、Q两点（其中P点在第一象限），点Q关于原点的对称点为A，点Q关于y轴的对称点为B，且直线AP与BQ交于点M，直线AB与PQ交于点N，证明：双曲线在点P处的切线平分线段MN．
组卷：246引用：3难度：0.5
解析
22．已知函数
f
（
x
）
=
klnx
+
1
e
x
（
k
∈
R
）
．
（1）若函数y=f（x）为增函数，求k的取值范围；
（2）已知0＜x₁＜x₂，
（i）证明：
e
e
x
2
-
e
e
x
1
＞
1
-
x
2
x
1
；
（ii）若
x
1
e
x
1
=
x
2
e
x
2
=
k
，证明：|f（x₁）-f（x₂）|＜1．
组卷：372引用：9难度：0.6
解析