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2023-2024学年山东省青岛实验高中高二（上）期中数学试卷

发布：2024/10/21 13:0:2

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

1．直线
x
-
3
y
+
1
=
0
的倾斜角为（　　）
A．
2
π
3
B．
5
π
6
C．
π
3
D．
π
6
组卷：624引用：20难度：0.9
解析
2．双曲线2x²-y²=8的渐近线方程是（　　）
A．
y
=±
1
2
x
B．y=±2x C．
y
=±
2
x
D．
y
=±
2
2
x
组卷：375引用：6难度：0.8
解析
3．直线
x
4
+
y
2
=1与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直径的圆的方程为（　　）
A．x²+y²-4x-2y-1=0 B．x²+y²-4x-2y=0
C．x²+y²-4x-2y+1=0 D．x²+y²-2x-4y=0
组卷：203引用：6难度：0.7
解析
4．已知随机事件A和B互斥，且P（A∪B）=0.6，P（B）=0.3，则
P
（
A
）
等于（　　）
A．0.8 B．0.7 C．0.5 D．0.2
组卷：278引用：11难度：0.7
解析
5．圆x²+y²+4x-2y=0和圆x²+y²-2x-3=0交于A、B两点，则相交弦AB的垂直平分线的方程为（　　）
A．6x-2y+3=0 B．x+3y-1=0 C．2x-2y+3=0 D．x-3y-1=0
组卷：962引用：5难度：0.8
解析
6．已知△ABC的周长为20，且顶点B（0，-4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是（　　）
A．
x
2
36
+
y
2
20
=
1
（x≠0） B．
x
2
20
+
y
2
36
=
1
（x≠0）
C．
x
2
6
+
y
2
20
=
1
（x≠0） D．
x
2
20
+
y
2
6
=
1
（x≠0）
组卷：10599引用：56难度：0.9
解析
7．已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示．其中n（Ω）=12，n（A）=6，n（B）=4，n（A∪B）=8，则事件A与事件
B
（　　）
A．是互斥事件，不是独立事件
B．不是互斥事件，是独立事件
C．既是互斥事件，也是独立事件
D．既不是互斥事件，也不是独立事件
组卷：1001引用：7难度：0.9
解析

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四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.除17题为10分外，18～22题均为12分.）

21．已知椭圆C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
的左、右焦点分别为F₁，F₂（|F₁F₂|＜10），上顶点为A，AF₁⊥AF₂，且F₁到直线l：
x
-
2
y
+
5
=
0
的距离为
4
3
3
．
（1）求C的方程；
（2）与l平行的一组直线与C相交时，证明：这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上；
（3）P为C上的动点，M，N为l上的动点，且
|
MN
|
=
2
3
，求△PMN面积的取值范围．
组卷：122引用：5难度：0.5
解析
22．杭州2022年第19届亚运会（The19thAsianGamesHangzhou2022）将于2023年9月23日至10月8日举办．本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设了霹雳舞、电子竞技两个竞赛项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为A，B，C，D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p,另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为
1
2
．最初分组时AB同组，CD同组．

（1）若
p
=
3
4
，在淘汰赛赛制下，A，C获得冠军的概率分别为多少？
（2）分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？
组卷：182引用：9难度：0.6
解析