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2023年山东省烟台市高考数学适应性试卷（一）

发布：2024/4/20 14:35:0

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．设集合
A
=
{
x
|
x
+
1
＞
0
}
，
B
=
{
y
|
y
=
1
-
2
x
}
，则A∩B=（　　）
A．（-1，0] B．[0，1） C．（-1，1） D．[0，+∞）
组卷：40引用：2难度：0.8
解析
2．已知复数z满足z（1+i）=i,则
z
在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
组卷：86引用：3难度：0.7
解析
3．设（1+2x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，若a₃=2a₂，则n=（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
组卷：134引用：4难度：0.7
解析
4．尺规作图三等分角是古希腊三大几何难题之一，现今已证明该问题无解．但借助有刻度的直尺、其他曲线等，可将一个角三等分．古希腊数学家帕普斯曾提出以下作法：如图，以∠ACB的顶点C为圆心作圆交角的两边于A，B两点；取线段AB三等分点O，D；以B为焦点，A，D为顶点作双曲线，与圆弧AB交于点E，连接CE，则∠ACB=3∠BCE．如图中CE交AB于点P，
5
AP
=
6
PB
，则cos∠ACP=（　　）
A．
-
24
25
B．
-
12
25
C．
-
7
25
D．
12
25
组卷：57引用：2难度：0.5
解析
5．函数y=x（sinx-sin2x）的部分图象大致为（　　）
A． B． C． D．
组卷：235引用：11难度：0.7
解析
6．口袋中有编号分别为1、2、3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为（　　）
A．
1
3
B．
2
3
C．2 D．
8
3
组卷：91引用：1难度：0.9
解析
7．若函数
f
（
x
）
=
lnx
+
1
2
x
2
+
ax
有两个极值点x₁，x₂，且f（x₁）+f（x₂）≤-5，则（　　）
A．
a
≥
4
2
B．
a
≥
2
2
C．
a
≤
-
2
2
D．
a
≤
-
4
2
组卷：430引用：9难度：0.5
解析

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21．某企业拥有甲、乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随机抽样方法从两条生产线共抽取180个零件，测量其尺寸（单位：mm）得到如下统计表，其中尺寸位于[55，58）的零件为一等品，位于[54，55）和[58，59）的零件为二等品，否则零件为三等品．

生产线 [53，54] [54，55） [55，56） [56，57） [57，58） [58，59） [59，60]

甲 4 9 23 28 24 10 2

乙 2 14 15 17 16 15 1

（1）完成2×2列联表，依据α=0.05的独立性检验能否认为零件为一等品与生产线有关联？
（2）将样本频率视为概率，从甲、乙两条生产线中分别随机抽取2个零件，每次抽取零件互不影响，以ξ表示这4个零件中一等品的数量，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；

一等品非一等品

甲

乙

（3）已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱60个．产品出厂前，该企业可自愿选择是否对每箱零件进行检验．若执行检验，则每个零件的检验费用为5元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品零件支付20元赔偿费用．现对一箱零件随机检验了10个，检出了1个三等品．将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据，是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由．
附
χ
2
=
n
（
ad
-
bc
）
2
（
a
+
b
）
（
c
+
d
）
（
a
+
c
）
（
b
+
d
）
，其中n=a+b+c+d；x_0.05=3.841．

组卷：69引用：1难度：0.5

解析

22．在平面直角坐标系xOy中，P，Q是抛物线C：x²=y上两点（异于点O），过点P且与C相切的直线l交x轴于点M，且直线OQ与l的斜率乘积为-2．
（1）求证：直线PQ过定点，并求此定点D的坐标；
（2）过M作l的垂线交椭圆
x
2
4
+
y
2
=
1
于A，B两点，过D作l的平行线交直线AB于H，记△OPQ的面积为S，△ABD的面积为T．
（ⅰ）当
T
S
2
取最大值时，求点P的纵坐标；
（ⅱ）证明：存在定点G，使|GH|为定值．
组卷：77引用：1难度：0.6
解析