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2023年广东省深圳市龙岗区德琳学校高考数学二模试卷

发布：2024/4/23 12:26:7

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．已知A={x|y=ln（x+2）}，B={y|y=sinx}，则∁_AB=（　　）
A．（-2，-1]∪[1，+∞） B．（-2，-1]∪（1，+∞）
C．（-2，-1）∪[1，+∞） D．（-2，-1）∪（1，+∞）
组卷：90引用：2难度：0.7
解析
2．已知复数z=2-i,则
|
z
|
=（　　）
A．
5
B．
3
C．2 D．
2
组卷：68引用：4难度：0.8
解析
3．在正六边形ABCDEF中，FD与CE相交于点G，设
FG
=
p

，

CG
=
q
，则
BC
=（　　）
A．
1
2
p
+
2
3
q
B．
2
3
p
+
1
2
q
C．
p
+
1
2
q
D．
1
2
p
+
q
组卷：75引用：2难度：0.6
解析
4．已知
tan
α
2
=
2
，则
1
+
cosα
sinα
的值是（　　）
A．
2
2
B．2 C．
2
D．
1
2
组卷：200引用：4难度：0.8
解析
5．已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，设事件A_i为第一次取出的球为i号，事件B_i为第二次取出的球为i号，则下列说法错误的是（　　）
A．
P
（
B
3
|
A
3
）
=
1
6
B．
P
（
A
3
）
=
1
4
C．
P
（
B
3
）
=
13
48
D．
P
（
B
3
A
3
）
=
1
24
组卷：391引用：2难度：0.7
解析
6．宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术．有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为n个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，记自上而下第n层的圆球总数为a_n，容易发现：a₁=1，a₂=3，a₃=6，则a₁₀-a₅=（　　）
A．45 B．40 C．35 D．30
组卷：61引用：4难度：0.7
解析
7．已知正三棱锥的外接球半径R为1，则该正三棱锥的体积的最大值为（　　）
A．
16
3
27
B．
3
4
C．
8
3
27
D．
8
3
9
组卷：114引用：2难度：0.5
解析

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21．中国是纸的故乡，折纸也是起源于中国．后来数学家将几何学原理运用到折纸中，并且利用折纸来研究几何学，很好的把折纸艺术与数学相结合．将一张纸片折叠一次，纸片上会留下一条折痕，如果在纸片上按照一定的规律折出很多折痕后，纸上能显现出一条漂亮曲线的轮廓．
如图，一张圆形纸片的圆心为点D，A是圆外的一个定点，P是圆D上任意一点，把纸片折叠使得点A与P重合，然后展平纸片，折痕与直线DP相交于点Q，当点P在圆上运动时，得到点Q的轨迹．
（1）证明：点Q的轨迹是双曲线；
（2）设定点A坐标为2，纸片圆的边界方程为（x+2）²+y²=r²．若点M（2，3）位于（1）中所描述的双曲线上，过点M的直线l交该双曲线的渐近线于E，F两点，且点E，F位于y轴右侧，O为坐标原点，求△EOF面积的最小值．
组卷：70引用：2难度：0.5
解析
22．已知函数
f
（
x
）
=
x
-
1
x
+
1
-
alnx
．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）（ⅰ）当
0
＜
a
＜
1
2
时，试证明函数f（x）恰有三个零点；
（ⅱ）记（ⅰ）中的三个零点分别为x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，试证明
x
2
1
（
1
-
x
3
）
＞
a
（
x
2
1
-
1
）
．
组卷：100引用：4难度：0.2
解析