2021年上海交大附中高考数学最后模拟试卷

一、填空题

• 1．方程组

  x - 2 y - 5 = 0

  3 x + y = 8

  的增广矩阵为

  ．
  组卷：48引用：9难度：0.9

  解析

• 2．设向量

  a

  =

  （

  2

  ，

  1

  ）

  ，

  e

  是与

  a

  方向相反的单位向量，则

  e

  的坐标为

  ．
  组卷：159引用：2难度：0.8

  解析

• 3．用二分法研究方程x³+3x-1=0的近似解x=x₀，借助计算器经过若干次运算得如表：
  

  运算次数	1	…	4	5	6	…
  解的范围	（0，0.5）	…	（0.3125，0.375）	（0.3125，0.34375）	（0.3125，0.328125）	…

  若精确到0.1，至少运算n次，则n+x₀的值为

  ．
  组卷：162引用：6难度：0.9

  解析

• 4．设（1+2x）ⁿ展开式中二项式系数之和为a_n，各项系数之和为b_n，则

  lim

  n

  →∞

  a

  n

  -

  b

  n

  a

  n

  +

  b

  n

  =

  ．
  组卷：50引用：5难度：0.9

  解析

• 5．若变量x、y满足条件

  y ≥ 0

  x + 2 y ≥ 1

  x + 4 y ≤ 3

  ，则z=x-2y的最小值是

  ．
  组卷：36引用：1难度：0.7

  解析

• 6．已知复数

  z

  1

  =

  1

  +

  3

  i,|z₂|=1，z₁z₂是正实数，则复数z₂=

  ．
  组卷：65引用：1难度：0.8

  解析

• 7．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为
  V₁．直径为4的球的体积为V₂，则V₁：V₂=

  ．
  组卷：79引用：2难度：0.5

  解析

三、解答题

• 20．已知椭圆C：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  3

  =1，直线l过右焦点F与椭圆交于A、B两点，△PQR的三个顶点均在椭圆上，且O为坐标原点．
  （1）小明在计算△OAB的面积的最大值的时候用了如下方法，其中有两处出错，请指出其中的一处错误之处，并说明原因；
  解答：设

  A

  （

  2

  cosα

  ，

  3

  sinα

  ）

  ，

  B

  （

  2

  cosβ

  ，

  3

  sinβ

  ）

  ，则S_△AOB=

  1

  2

  2 cosα	3 sinα	1
  2 cosβ	3 sinβ	1
  0	0	1

  =

  3

  |sin（β+α）|≤

  3

  ，所以△OAB的面积的最大值为

  3

  ．
  （2）请给出题目（1）中问题的正确解答；
  （3）小明虽然做错了，但这种方法在计算某些题目时会比常规方法便捷些，如求证下面问题，求证：当△PQR的重心为原点O时，△PQR的面积是定值．
  组卷：73引用：1难度：0.2

  解析

• 21．在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：

  sinh

  （

  x

  ）

  =

  e

  x

  -

  e

  -

  x

  2

  ，双曲余弦函数：

  cosh

  （

  x

  ）

  =

  e

  x

  +

  e

  -

  x

  2

  ，（e是自然对数的底数）．
  （1）解方程：cosh（x）=2；
  （2）写出双曲正弦与两角和的正弦公式类似的展开式：sinh（x+y）=_____，并证明；
  （3）无穷数列{a_n}，a₁=a,

  a

  n

  +

  1

  =

  2

  a

  2

  n

  -

  1

  ，是否存在实数a,使得

  a

  2021

  =

  5

  4

  ？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．
  组卷：299引用：1难度：0.1

  解析