2023年湖南省长沙市周南中学高考数学三模试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

• 1．设集合

  A

  =

  {

  x

  ∈

  R

  |

  -

  5

  ＜

  x

  ＜

  5

  }

  ，

  B

  =

  {

  x

  ∈

  Z

  |

  x

  -

  1

  x

  -

  4

  ≤

  0

  }

  ，则A∩B=（　　）

  A．{x|1≤x≤4}

  B．{x|1≤x＜4}

  C．{1，2，3}

  D．{1，2，3，4}
  组卷：184引用：3难度：0.7

  解析

• 2．

  4

  i

  1

  -

  i

  的虚部为（　　）

  A．-2

  B．2

  C．2i

  D．-2i
  组卷：85引用：5难度：0.8

  解析

• 3．“a=1”是“函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  lg

  （

  x

  2

  +

  a

  2

  -

  x

  ）

  是奇函数”的（　　）

  A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
  C．充要条件	D．既不充分也不必要条件
  组卷：144引用：7难度：0.7

  解析

• 4．已知单位向量

  a

  ，

  b

  满足

  a

  •

  b

  =

  0

  ，若向量

  c

  =

  6

  a

  -

  3

  b

  ，则

  sin

  〈

  a

  ，

  c

  〉

  =（　　）

  A． 3 3

  B． 6 3

  C． - 3 3

  D． - 6 3
  组卷：73引用：2难度：0.7

  解析

• 5．马路上有编号为1，2，3，…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有（　　）

  A．10

  B．12

  C．15

  D．20
  组卷：121引用：2难度：0.7

  解析

• 6．设

  a

  =

  1

  3

  ，

  b

  =

  ln

  3

  2

  ，

  c

  =

  tan

  1

  2

  ，则（　　）

  A．a＜b＜c

  B．b＜a＜c

  C．c＜a＜b

  D．a＜c＜b
  组卷：185引用：6难度：0.6

  解析

• 7．函数

  f

  （

  x

  ）

  =

  cos

  （

  ωx

  +

  π

  6

  ）

  的部分图象如图，则下列选项中是其一条对称轴的是（　　）

  A． x = 7 π 24

  B． x = 3 π 8

  C． x = 5 π 12

  D． x = 11 π 24
  组卷：272引用：3难度：0.6

  解析

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

• 21．已知椭圆E：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦点分别为F₁，F₂，焦距与短轴长均为4．设过F₂的直线l交E于M，N，过M，N分别作E在点M，N上的两条切线，记它们的交点为P，MN的中点为Q．
  （1）证明：O，P，Q三点共线；
  （2）过F₁作平行于l的直线分别交PM，PN于A，B，求

  |

  OA

  +

  OB

  |

  |

  OP

  |

  的取值范围．
  参考结论：点T（x₀，y₀）为椭圆

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0）上一点，则过点T（x₀，y₀）的椭圆的切线方程为

  x

  0

  x

  a

  2

  +

  y

  0

  y

  b

  2

  =

  1

  ．
  组卷：33引用：2难度：0.6

  解析

• 22．已知函数f（x）=ax+cosx.
  （1）若函数f（x）在[0，π]上有极值，求f（x）在[0，π]上所有极值的和；
  （2）若

  f

  （

  x

  ）

  ≤

  1

  2

  a

  x

  2

  +

  e

  x

  对任意x∈R恒成立，求正实数a的取值集合．
  组卷：150引用：3难度：0.3

  解析